2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как возникает эта ошибка?
Сообщение04.10.2021, 22:25 


24/08/18
195
Допустим, что два заряда электрического диполя размещены не на оси $OZ$, а на оси $OY$. Введем сферическую систему координат такую, что координаты декартовы будут равны:
$x = r{\sin{\theta}}{\cos{\varphi}}$
$y = r{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}}$
$z = r{\cos{\theta}}$
Пусть заряды располагаются на некотором расстоянии друг от друга $h$, на оси $OY$ с одинаковыми расстояниями от начала координат, положительный слева, отрицательный справа
Изображение
, тогда координаты зарядов будут равны:
${x_{01}} = {x_{02}} = {z_{01}} = {z_{02}} = 0$
${y_{01}} = -0,5h$
${y_{02}} = 0,5h$
, откуда можно вычислить сферические координаты зарядов:
${r_{01}} = {r_{02}} = 0,5h$
${{\theta}_{01}} = {{\theta}_{02}} = 90$
${{\varphi}_{01}} = 270$
${{\varphi}_{02}} = 90$

Задача заключается в вычислении потенциала электрического поля, для чего можно использовать принцип суперпозиции:
$U = K{q_1}{{r_1}^{-1}} + K{q_2}{{r_2}^{-1}} = Kq({{r_1}^{-1}} - {{r_2}^{-1}})$
, где ${r_1}$ и ${r_2}$ - расстояния от точки, в которой наблюдается поле, до первого и второго зарядов соответственно. Таким образом, задача нахождения потенциала заключается в выражении расстояний от точки наблюдения до зарядов через расстояние до начала координат $r$, широту ${\theta}$ и долготу ${\varphi}$. Используем формулу расстояния ${r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$ и формулы переноса начала координат в точку первого и в точку второго заряда $x' = x - {x_0}$, $y' = y - {y_0}$ и $z' = z - {z_0}$, выражения декартовых координат через сферические и вычисленные сферические координаты обеих зарядов, тогда обратное расстояние от первого до заряда точки, в которой наблюдается поле, равно ${{r_1}^{-1}} = {{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\cos{\theta}})}^{-0,5}}$, а от второго ${{r_2}^{-1}} = {{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\cos{\theta}})}^{-0,5}}$.

Чтобы вычислить компоненты электрического поля, используем формулы градиента в сферических координатах:
${E_r} = -{{U}_{,1}}$
${E_{\theta}} = -{r^{-1}}{{U}_{,2}}$
${E_{\varphi}} = -{({r{\sin{\theta}})^{-1}}{{U}_{,3}}$
, откуда компоненты такого поля будут равны
${E_r} = 0,5Kq({(2r + h{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}{{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}}$
$- {{(2r - h{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}{{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}}})$
${E_{\theta}} = 0,5K{p_e}{\cos{\theta}}{\sin{\varphi}}({{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}} + {{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}})$
${E_{\varphi}} = 0,5K{p_e}{\cos{\varphi}}({{({r^2} + 0,25{h^2} + rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}} + {{({r^2} + 0,25{h^2} - rh{\sin{\theta}}{\sin{\varphi}})}^{-1,5}})$

Предположим, как и при обычном вычислении диполя, что расстояние до точки наблюдения поля $r$ намного больше расстояния между зарядами $h$, и тогда эти выражения упрощаются:
${E_r} = 0$
${E_{\theta}} = K{p_e}{\cos{\theta}}{\sin{\varphi}}{r^{-3}}$
${E_{\varphi}} = K{p_e}{\cos{\varphi}}{r^{-3}}$

Что дает (по формуле ротора в сферических координатах) ненулевой ротор такого поля
${{({\nabla}{\times}E)}_{\theta}} = 2K{p_e}{\cos{\varphi}}{r^{-4}}$
${{({\nabla}{\times}E)}_{\varphi}} = -2K{p_e}{\cos{\theta}}{\sin{\varphi}}{r^{-4}}$
, однако при вычислении от точной формулы он нулевой, как и должно быть для потенциального поля.

Если же разместить заряды и считать поле как обычно, то ротор будет нулевым и для точного, и для приближенного случая. Почему же здесь получается иначе?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.10.2021, 22:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Обозначения вообще-то полезно вводить, а тут неочевидных добрая половина. Напишите, что такое $h$, откуда и как вы отсчитываете углы и т.п.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.10.2021, 12:22 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает эта ошибка?
Сообщение06.10.2021, 13:39 
Заслуженный участник


28/12/12
6972
Alastoros
Формулы для $r_{1}, r_{2}$ должны быть $r^2_{1}=(x-x_{01})^2+(y-y_{01})^2+(z-z_{01})^2$, что с вашими координатами зарядов не согласуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает эта ошибка?
Сообщение06.10.2021, 18:46 


24/08/18
195

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #1534131 писал(а):
что с вашими координатами зарядов не согласуется

Да, Вы правы, при выводе радиусов я, очевидно, перепутал координаты и подставил икс вместо игрек, или, скорее всего, считал у себя обратные радиусы и для диполя по оси игрек и для диполя по оси икс и выложил сюда не первые, а вторые, однако теперь пересчитал все сначала, и в дальнем приближении получились те же компоненты, что и ранее, так что сказанное о роторе приближения все-таки верно.

Впрочем, это и не удивительно, если взять картинку силовых линий электрического поля диполя, если расстояние между зарядами очень маленькое, например в учебнике Измайлова, то это и выглядит, как суперпозиция двух противоположных вихревых электрических полей, а ротор приближения как раз и меняет знак, если обойти диполь по долготе на 180 градусов. Если бы такое представление было точно справедливо, в координатах ротора там и там были бы изменения плотности магнитной энергии и это работало бы как энергетический дестабилизатор, но оно, к сожалению, таким только выглядит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group