Разложить по Тейлору 1/cos(x)

[denmanorwat]

Здравствуйте. Разбираюсь в разложении функции ${1 \over \cos(x)}$ в ряд Тейлора в окрестности нуля. Автор предлагает следующий трюк: По Тейлору раскладываем косинус: $ \cos(x) = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} + o(x^5) $. Представляем кусок разложения заменой переменной: $ t = - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} + o(x^5) $. Далее, раскладываем по Тейлору не $ {1 \over \cos(x)}$, а уже функцию с заменённой переменной: $ {1 \over 1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 +o(t^3) $, после чего подставляем $ t = - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} + o(x^5) $. Возникает вопрос: а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной чтобы добиться разложения тангенса по Тейлору?

[nnosipov]

denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):

а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной

А почему нет? Что нам мешает заменить сложное выражение от $x$ одной буквой $t$? Мы же не собираемся (надеюсь) игнорировать о-малые. Да и $t \to 0$ при $x \to 0$, так что все оценки валидны.

-- Пт окт 01, 2021 22:56:45 --

denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):

разложения тангенса

Наверное, секанса.

[novichok2018]

Это же какие то Бернулли?

[denmanorwat]

nnosipov в сообщении #1533535 писал(а):

denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):

а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной

А почему нет? Что нам мешает заменить сложное выражение от $x$ одной буквой $t$? Мы же не собираемся (надеюсь) игнорировать о-малые. Да и $t \to 0$ при $x \to 0$, так что все оценки валидны.

-- Пт окт 01, 2021 22:56:45 --

denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):

разложения тангенса

Наверное, секанса.

Спасибо. Прочитал ваше сообщение, подумал, и да, действительно, ничего не мешает. И поэтому о-малые игнорировать таки не стоит. Спасибо за ответ.
P.S. Да, секанса, опечатка.

[Nemiroff]

denmanorwat в сообщении #1533604 писал(а):

И поэтому о-малые игнорировать таки не стоит.

$e^x=1+o(1)$.
Заменим всюду $x$ сперва на $\sin x$, затем на $\cos x$.
Получим $e^{\sin x} = 1+o(1)$ и $e^{\cos x} = 1+o(1)$
Первое ещё куда ни шло: при подстановке $x=0$ получаем $1=1$.
Второе не столь позитивно -- $e^1=1$.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1533585 писал(а):

Это же какие то Бернулли?

Числа Эйлера, см. https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonome ... _expansion

[thething]

denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):

Возникает вопрос: а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной чтобы добиться разложения тангенса по Тейлору?

У нас есть разложение $\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+...$ для $|t|<1$. Далее, замечаем, что выражение $-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+...$ в какой-то окрестности нуля меньше единицы (ибо вообще стремится к нулю), так что подстановка оправдана. Ну а возможность перегруппировки слагаемых вытекает из абсолютной сходимости и теорем о повторных рядах. Не понятно только, причём тут о-малые, когда речь о рядах Тейлора? Строгое доказательство можете посмотреть во втором томе Фихтенгольца. Пункт 446 так и называется: подстановка ряда в ряд.