Стереографическая проекция

[rochefou]

Задача. Стереографическая проекция переводит каждую окружность сферы не проходящей через центр проекции в окружность.

Я понимаю как это доказать с помощью вспомогательного конуса который касается данной окружности, но обратную теорему доказать не удаётся.

Попытка: взять точку пересечения сферы с линией соединяющей центр проекции и точку данной окружности на данной плоскости. Провести касательную плоскость к этой точке и найти точку пересечения с линией соединяющей центр проектирования и центр данной окружности.
Дальше не знаю куда.

[Verkhovtsev]

Стереографическая проекция исходной сферы является инверсией относительно конкретно определенной сферы с центром в центре проекции. Так что указанное вами свойство стереографической проекции следует из свойств инверсии.
Подробнее об этом можно прочитать в книжке: Жижилкин И.Д. - Инверсия. МЦНМО 2009. В разделе "Стереографическая проекция".

Ну, или можно писать уравнения окружностей и сферы... Здесь еще важно уяснить, вам задали эту задачу в качестве задания, или вы сами для себя хотите уяснить?