2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Лиувилля
Сообщение26.09.2021, 11:52 


26/09/21
2
Рассмотрим $N$ нерелятивистких ионов, массой $m$ в постоянном внешнем магнитном поле $\vec{B}$ с векторным потенциалом $\vec{A}$.
Будем использовать векторные обозначения для обобщенных координат $\vec{q}_k={q_{k,1},q_{k,2},q_{k,3}}$ и $\vec{p}_k={p_{k,1},p_{k,2},p_{k,3}}$, так что индекс $k$ обозначает номер частицы. Уравнение Лиувилля в обобщенных координатах $\vec{q}_k$ и $\vec{p}_k$:
$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{q}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{q}_k}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{p}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{p}_k}=0, \qquad(1)$

где $\dot{\vec{q}}_k$ и $\dot{\vec{p}}_k$ определяются согласно уравнениям Гамильтона:
$\dot{\vec{q}}_k=\frac{\partial H}{\partial \vec{p}_k};\qquad (2)$
$\dot{\vec{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial \vec{q}_k}.\qquad (3)$

Функция Гамильтона для рассматриваемой задачи:
$H=\frac{1}{2m}\sum\limits_{k=1}^{N}[\vec{p}_k-e\vec{A}(\vec{q}_k)]^2.$

Выбрав в качестве обобщенных координат Декартовы координаты: $\vec{q}_k=\vec{r}_k=x_k,y_k,z_k$, мы должны получить уравнение Лиувилля в виде:
$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{r}_k}+\frac{e}{m}\sum\limits_{k=1}^{N}(\dot{\vec{r}}_k\times\vec{B})\frac{\partial f}{\partial \dot{\vec{r}}_k}=0.\qquad (4)$

У меня не получается перейти от уравнения (1) к уравнению (4). Вот ход моих рассуждений:
Используя (2) найдем $\vec{p}_k = m\dot{\vec{r}}_k+e\vec{A}; \qquad (5)$
Далее из (3) и (5) находим
$\dot{p}_{xk} =e \dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial \vec{x}_k};$

$\dot{p}_{yk} =e \dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial \vec{y}_k};$

$\dot{p}_{zk} =e \dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial \vec{z}_k};$

Получаем уравнение Лиувилля в виде:
${\frac{\partial f}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{N}\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial f}{\partial \vec{r}_k}+e\sum\limits_{k=1}^{N}(\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial x_k}\frac{\partial f}{\partial (m\dot{x}_k+eA_x)}+\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial y_k}\frac{\partial f}{\partial (m\dot{y}_k+eA_y)}+\dot{\vec{r}}_k\frac{\partial \vec{A}}{\partial z_k}\frac{\partial f}{\partial (m\dot{z}_k+eA_z)})=0}.$

Как можно преобразовать производные $\frac{\partial f}{\partial (m\dot{x}_k+eA_x)}$; $\frac{\partial f}{\partial (m\dot{y}_k+eA_y)}$, $\frac{\partial f}{\partial (m\dot{z}_k+eA_z)}$ чтобы получить уравнение (4)? Или, пожалуйста подскажите какой-нибудь другой способ получить уравнение (4) из уравнения(1). Буду благодарен если посоветуете литературу, в которой эта или подобная задача рассмотрена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лиувилля
Сообщение26.09.2021, 12:09 


20/04/10
1230
Русь
Раскрыть в гамильтониане квадрат суммы, пренебречь квадратичным по полю слагаемым, записать вектор потенциал для однородного магнитного поля, появится смешанное векторное произведение, в нём поменять порядок. Далее можно записать уравнение Гамильтона-Якоби.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.09.2021, 13:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- поправьте отдельные обозначения, набрав их как формулы (чтобы они и выглядели так, как в формулах).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.09.2021, 14:57 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group