2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 01:56 


25/07/19
19
Здравствуйте!
Мне хотелось бы получить уравнение Мещерского, дифференцируя условие постоянства центра масс системы
ракета $+$ топливо, но в итоге получается какое-то другое уравнение...

Итак, ракета перемещается прямолинейно в открытом космосе далеко от притягивающих масс:
$m_\text{р}$ - масса ракеты без топлива,
$x_\text{р}$ - координата ц.м. ракеты без топлива,
$m_\text{ост}$ - масса топлива, оставшегося в ракете на данный момент времени,
$x_\text{ост}$ - координата ц.м. оставшегося топлива,
$m_\text{выл}$ - масса топлива, вылетевшего из ракеты на данный момент времени,
$x_\text{выл}$ - координата ц.м. вылетевшего топлива,
$m_\text{т} = m_\text{ост} + m_\text{выл}$ - масса всего топлива,
$\dot{m_\text{т}} = \dot{m_\text{ост}} + \dot{m_\text{выл}} = 0$,

$$ \frac{ m_\text{р} x_\text{р} + m_\text{ост} x_\text{ост} + m_\text{выл} x_\text{выл} }{ m_\text{р} + m_\text{ост} + m_\text{выл} } = X $$

Система замкнута, центр масс двигаться не будет, поэтому положим $X = 0$,

$m_\text{выл} = m_\text{т} - m_\text{ост}$

$x_\text{ост} = x_\text{р}$

Тогда, $$ (m_\text{р} + m_\text{ост})x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) x_\text{выл} = 0$$

Дифференцируем,

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) \dot{x_\text{выл}} - \dot{m_\text{ост}} x_\text{выл} = 0 $$

Теперь введем $\omega$ - проекция относительной скорости топлива на ось $X$. Тогда $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

$$ (m_\text{р} + m_\text{ост})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}x_\text{р} + (m_\text{т} - m_\text{ост}) (\dot{x_\text{р}} + \omega) - \dot{m_\text{ост}} x_\text{выл} = 0 $$

$$ (m_\text{р} + m_\text{т})\dot{x_\text{р}} + \dot{m_\text{ост}}(x_\text{р}-x_\text{выл})+\omega (m_\text{т}-m_\text{ост}) = 0$$

Дифференцируем, сразу подставил $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+(x_\text{р}-x_\text{выл})\ddot{m_\text{ост}}+\dot{m_\text{ост}}(\dot{x_\text{р}}-\dot{x_\text{р}}-\omega)-\dot{m_\text{ост}\omega} = 0 $$

$$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+\ddot{m_\text{ост}}(x_\text{р}-x_\text{выл})-2\dot{m_\text{ост}}\omega = 0$$

Сюда подставляем $$ x_\text{выл} = -\frac{m_\text{р}+m_\text{ост}}{m_\text{т}-m_\text{ост}} x_\text{р}$$

Итоговое уравнение: $$ (m_\text{р}+m_\text{т})\ddot{x_\text{р}}+\frac{m_\text{т}+m_\text{р}}{m_\text{т}-m_\text{ост}}\ddot{m_\text{ост}}x_\text{р}-2\dot{m_\text{ост}}\omega = 0 $$

А должно быть такое: $M(t)\dot{v} = \omega \dot{M(t)}$. В моих обозначениях это было бы:

$$ (m_\text{р}+m_\text{ост})\ddot{x_\text{р}} = \omega\dot{m_\text{ост}} $$

Подскажите, пожалуйста, где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 02:27 


20/04/10
1231
Русь
Здесь
ValfennayaVaflaya в сообщении #1532766 писал(а):
Тогда $\dot{x_\text{выл}} = \dot{x_\text{р}} + \omega$
Это скорость вылетающего топлива, но не всего вылетевшего.

 Профиль  
                  
 
 Re: НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 02:33 


25/07/19
19
Да, точно, спасибо. А можно этим путем дойти все-таки до правильного уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: НеВывод уравнения Мещерского
Сообщение26.09.2021, 02:37 


20/04/10
1231
Русь
Думаю, можно, но это не будет проще чем через изменение импульса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group