Касание m-го порядка

[MChagall]

Есть следующее определение:
отображения гладких многообразий $f_1,f_2:M\to N$ называются m-касающимися в точке $x$ из $M$, если $r_N(f_1(y),f_2(y))=o(r^m_M(x,y))$ при $y\to x$, где $r_N,r_M$ - римановы метрики.
Надо доказать, что это свойство на зависит от выбора метрик на многообразиях.
Не знаю, как связать разные метрики.
$ds^2=r_{ij}(x^1,...,x^n)dx^idx^j$
Есть формулы для перехода при смене координат в одной и той же метрике. Но для разных метрик не знаю как быть. Может кто помочь?

[Slav-27]

Пусть $M, N$ -- гладкие многообразия.
Определение. Кривые (гладкие отображения) $a,b:\mathbb R\to M$ имеют касание порядка $r$ в $0$, если для любой $f\in C^\infty M$ функция $f\circ a-f\circ b:\mathbb R\to\mathbb R$ равна $0$ в $0$ вместе с первыми $r$ производными.
Определение. Гладкие отображения $f,g\in C^\infty(M,N)$ имеют касание порядка $r$ в точке $x\in M$, если для любой кривой $a:\mathbb R\to M$, $a(0)=x$ кривые $f\circ a$ и $g\circ a$ имеют касание порядка $r$ в $0$.

Докажите, что ваше определение эквивалентно.

[MChagall]

Какой-то затуп.
$f\circ a, g\circ a\subset N$. $f\circ a(0)=f(x),g\circ a(0)=g(x)$
Далее, можем какую-то функцию на них взять.
В голову приходит лишь координатная $X^i$, которая точке из $N$ даёт её координату в выбранной системе координат.
$X^i(f\circ a(0))-X^i(g\circ a(0))$ равна $0$ в $0$ вместе с первыми $r$ производными.
Теперь, наверное, можно взять какую-то близкую точку $y$ на кривой $a$.
И навесить метрику $r(f(y),g(y))$. Но дальше не пойму

[demolishka]

MChagall в сообщении #1532660 писал(а):

Может кто помочь?

Все метрики локально липшицево эквивалентны. Возьмите карту в окрестности точки $x$ и чуть поменьше шаровую окрестностью в ней и докажите, что евклидова метрика липшицево эквивалентна исходной.

Вообще-то это обстоятельство важно при построении метрики на многообразии и, если Вы уж пользуетесь метрикой, то оно должно уже быть доказано. А тогда утверждение задачи очевидно.

[MChagall]

К сожалению, пришлось отвлечься от задачи.

demolishka в сообщении #1532825 писал(а):

если Вы уж пользуетесь метрикой, то оно должно уже быть доказано

У меня этого не было. У самого не слишком получается в некоторых моментах. Не мог ли бы подсказать, где про это можно почитать, сам не нашёл почему-то

[demolishka]

MChagall в сообщении #1535220 писал(а):

где про это можно почитать

Наверное любой учебник по римановой геометрии. Вот взял первый попавшийся: Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. Страницы 32-33.