Сфера зажатая между плоскостями

[zcorvid]

Сфера зажата между параллельными плоскостями, мы её катаем между ними так, чтобы не было вращения параллельного плоскостям (запрещено оставлять точку касания на месте, и вращать сферу вокруг своей оси). Сферу покатали и вернули в прежнее положения (точка касания на плоскости стала той же, бывшая точка касания на сфере могла куда-то отвернуться). В итоге получен некоторой поворот сферы $g \in SO(3)$. Нужно описать подгруппы поворотов, которые можно получить подобным способом.

Честно говоря, я пока не очень представляю, как подступиться к задаче. Можно пойти по пути как в механике - написать два уравнения связи (первое - непроскальзывание, второе - запрет на повороты вокруг своей оси, он будет написан в терминах дифференциалов, или в таком духе). Это даст два дифференциальных уравнения, их можно попытаться решить и получить ответ. Но во-первых в задаче нет ничего про гладкость (врядли это проблема, не думаю, что ответ изменится, если разрешить негладкие "катания" сферы), а во-вторых я пока не очень понимаю, как написать эти дифференциальные уравнения.

Также в голове понемногу зреет мысль, что там можно попытаться что-то сделать с экспоненциальным отображением, но тут тоже сомнительно, так как на двумерной сфере нет групповой структуры.

В общем мыслей в голове полно, но такое чувство, что половина из них ерунда .