Вложение двумерного тора в трёхмерное пространство

[zcorvid]

Любое ли гладкое вложение тора в трёхмерное пространство ограничивает полноторие?

По смыслу задачи, скорее всего предполагается, что не любое (иначе врядли такой вопрос был бы поставлен). Однако мне кажется, что это не так.

Возьмём некоторое вложение тора в $\mathbb{R}^3$. Так как это замкнутая поверхность, она должна делить пространство на две части, одна из которых ограничена, она и будет полноторием.

Мне кажется рассуждение выше крайне наивно. Подскажите, в каком направлении стоит думать? Врядли контрпример (если он есть) слишком сложен.

[zcorvid]

Много гуглил этот вопрос. В английском stackoverflow есть некоторое обсуждение этого, и там все доказывают, что это верно (тор всегда ограничивает полноторие). Но в вопросе по ссылке https://math.stackexchange.com/questions/3008159/does-every-2-torus-embedded-in-mathbbr4-bound-a-compact-3-manifold в первом ответе есть попытка доказать, что это не так. Разобраться в рассуждении мне пока не удалось. Объясните, пожалуйста, что там пытается показать автор (если он вообще правду говорит).

PS. Базовыми вещами из топологии владею, гомотопические группы, гомологии и тому подобным, но к сожалению в целом в топологии не очень силён.

[Slav-27]

Это верно, но доказывать муторно, на math.SE есть 2 наброска доказательства и ссылка на Хэтчера Notes on Basic 3-Manifold Topology, где доказывается аналогичный факт для сферы вместо тора.
По вашей ссылке другая задача (вложение в $\mathbb R^4$).

[zcorvid]

В статье Хэтчера есть упражнение о том, что это верно для вложения тора в $S^3$, мне сказали, что в задаче существенно именно то, что тор вложен не в сферу, а в $\mathbb{R}^3$...

Возможно пример будет какой-то модификацией рогатой сферы Александера, точку негладкости которой нужно устремить к бесконечно удалённой точке...

[Someone]

zcorvid в сообщении #1532363 писал(а):

точку негладкости которой нужно устремить к бесконечно удалённой точке...

Тогда не будет вложения тора. Тор — компактное пространство, и его непрерывный образ обязательно компактен.

[zcorvid]

Да, действительно... Печально...

-- 22.09.2021, 18:26 --

Эврика!

Мне пришла в голову идея.

Возьмём трилистник (нетривиальный узел), рассмотрим его утолщение. Тогда поверхность этого утолщения задаёт некоторое гладкое вложение тора в $\mathbb{R}^3$ (а само утолщение является полноторием). Возьмём теперь любую точку внутри этого полнотория, и выколем её, а взамен добавим бесконечно удалённую точку к $\mathbb{R}^3$ (или, что то же самое, сделаем инверсию относительно точки внутри полнотория). После удаления точки внутри и добавления бесконечно удалённой точки пространство по-прежнему остаётся $\mathbb{R}^3$, при этом одна часть из двух, на которые тор его разбивает, является полноторием с выколотой точкой (то есть НЕ является полноторием $S^1 x D^2$, а вторая гомотопически эквивалентна дополнению трилистника с одной добавленной точкой.

Остаётся доказать, что дополнение трилистника с одной добавленной точкой не гомеоморфно полноторию.

Была идея сделать это через фундаментальную группу узла, но добавление точки может изменить фундаментальную группу...

-- 22.09.2021, 18:33 --

Кажется я понял.

Узел можно рассматривать как в $\mathbb{R}^3$ и как в $S^3$, соответственно можно рассматривать фундаментальную группу узла как фундаментальную группу дополнения в $\mathbb{R}^3$ и в $S^3$, обе эти конструкции дают изоморфные группы.

Фундаментальная группа трилистника - группа кос на 3 нитях, неизоморфна $\mathbb{Z}$, по определению это фундаментальная группа дополнения трилистника в сфере $S^3$, то есть фундаментальная группа второго кусочка из двух, на которые в нашей конструкции тор разбивает трёхмерное пространство. Фундаментальная группа полнотория равна $\mathbb{Z}$, из различия этих групп следует, что этот второй кусочек не является полноторием.

Вроде всё выглядит правильно...

[Slav-27]

Да, извините, я думал про $S^3$ почему-то. Как вы справедливо замечаете, утверждение "любой тор, вложенный в $\mathbb R^3$, ограничивает полноторие" очевидно равносильно утверждению "любой тор, вложенный в $S^3$, делит её на 2 полнотория", и коль скоро вы знаете, что дополнение к какому-то узлу не тор, то всё получается.

[KoppeKToP]

zcorvid в сообщении #1532366 писал(а):

Была идея сделать это через фундаментальную группу узла, но добавление точки может изменить фундаментальную группу...

Добавление или выкалывание точек из трехмерной сферы не влияет на фундаментальную группу (это следует из теоремы ван Кампена и того что сфера $S^2$ односвязна).

[Nartu]

Я прошу прощения, что встреваю не в своё дело, но в чём я ошибаюсь думая так:

- Взять пространство $\mathbb{R}^3$ и вырезать из него узел (тривиальный); назовём $\mathbf{B}$.
- Вложить 2-тор в него так, что бы он был границей окресности бывшего узла.
- Если первой процедуры небыло и наш 2-тор вложили в некоторое $\mathbf{B}$, то при его вырезании пространство так и будет из двух компонент, но они обе не будут полноториями.
И если не ошибаюсь, обе гомотопны 2-тору.

И вот Это мне показалось контрпримером. Но в чём задача тогда? В двусвязности при вырезании? - Это же следует из ориентированости..

[Slav-27]

Nartu
Смысл задачи в том, чтобы вложить $T^2\hookrightarrow\mathbb R^3$ так, чтобы образ вложения не ограничивал полноторие в $\mathbb R^3$ (а что он ограничивает в каком-то там $B$, нам не важно).