2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 15:28 


26/09/17
294
Из формулы для объема правильного n-симплекса следует, что объем правильного 0-симплекса равен 1. Из формулы для сферы, описанной вокруг правильного n-симплекса следует, что радиус сферы, описанной вокруг правильного 0-симплекса равен 0. Следовательно, объем шара, который содержит правильный 0-симплекс равен 0. Как так получается, что шар объемом 0 содержит симплекс объемом 1?
P.S. Формулы в Вики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 16:19 


14/01/11
2677
вики писал(а):
Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен $\frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}$

Как вы себе представляете правильный 0-симплекс с единичной стороной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 16:34 


26/09/17
294
А как Вы себе представляете 0-симплекс с не единичной стороной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 16:39 


14/01/11
2677
Я первый спросил. :-)
Вообще, что такое симплекс? Дайте определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3161
maximkarimov в сообщении #1532242 писал(а):
Следовательно, объем шара, который содержит правильный 0-симплекс равен 0.

Это откуда следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 17:03 


26/09/17
294
Хм, действительно - из формулы для объёма n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве получается, что в 0-мерном пространстве его объем равен 1 независимо от радиуса. Но каким образом тогда получается, что внутренность сферы с радиусом 0 имеет объем 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3161
maximkarimov в сообщении #1532250 писал(а):
сферы с радиусом 0

А это откуда взялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 19:19 


26/09/17
294
Из формулы в Вики (статья Симплекс):
$R_{n}=a\sqrt{ \frac{n}{2n+1}  }$

-- 21.09.2021, 20:20 --

Попробую с другой стороны: чему равна (максимальная) длина ребра правильного n-симплекса, который находится внутри n-мерного шара единичного радиуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3920
maximkarimov
"Объём" в трёхмерном пространстве $\mathbb{R}^3$ - это обычный объём. Он равен $1$ для единичного куба.
"Объём" на плоскости $\mathbb{R}^2$ - это площадь. Она равна $1$ для единичного квадрата.
"Объём" на прямой $\mathbb{R}$ - это длина. Она равна $1$ для единичного отрезка.

По аналогии можно определить "объём" в нульмерном пространстве (если уж очень хочется). Он должен быть равен $1$ для точки. И вообще, в нульмерном пространстве нет ничего кроме точки. Поэтому и "шар" любого радиуса, и симплекс, и куб с любой длиной ребра в нульмерном пространстве - это просто точка (если угодно, одноточечное множество). В нульмерном пространстве больше ничего нет. И его 0-объём получается равным $1$.

Например, что такое $0$-шар радиуса $R$? Это множество точек, отстоящих от центра на расстояние не более $R$. В качестве центра придётся взять единственную точку в нульмерном пространстве. Тогда, каким бы ни было $R$ (пусть даже и нулём), множество точек нульмерного пространства, отстоящих от этого центра на расстояние не более $R$, будет состоять из одной этой точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 19:29 
Аватара пользователя


07/03/16
3033
maximkarimov в сообщении #1532260 писал(а):
Из формулы в Вики

Кроме формулы надо понимать и смысл.
Объем бывает у 3-х и более мерных тел. Уже 2-симплекс (плоский треугольник) не имеет объема, а 1-симплекс уже не имеет площади, как и 0-симплекс не имеет длины. Зачем же искать у него объем? Хотя формально, в нулевых единицах дины у него и объем будет единичным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 19:52 


26/09/17
294
Emergency в сообщении #1532263 писал(а):
Кроме формулы надо понимать и смысл. Объем бывает у 3-х и более мерных тел.
Вот и постарайтесь понять, что, например у 0-, 1-, и 2-х мерных шаров тоже есть объем.

-- 21.09.2021, 21:29 --

Sender в сообщении #1532248 писал(а):
Я первый спросил. :-)
Вообще, что такое симплекс? Дайте определение.
Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). (Вики)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение21.09.2021, 23:13 


18/09/21
670
maximkarimov в сообщении #1532250 писал(а):
действительно - из формулы для объёма n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве получается, что в 0-мерном пространстве его объем равен 1 независимо от радиуса

Вы ещё посмотрите, в каких единицах он измеряется.
3-мерный объем в кубических метрах.
2-мерная площадь в квадратных метрах.
1-мерная длина в метрах.
А 0-мерное нечто в чём?

Если длину измерить в сантиметрах вместо метров, то число увеличится в 100 раз.
Если площадь измерить в квадратных сантиметрах вместо квадратных метров, то число увеличится в 10000 раз.
А в 0-мерном случае?
Вот оно и не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение22.09.2021, 00:39 


14/01/11
2677
maximkarimov в сообщении #1532265 писал(а):
выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства

Хорошо, теперь можно перейти к вопросу, что собой представляет сторона симплекса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного n-симплекса и радиус описанной сферы
Сообщение22.09.2021, 19:30 


26/09/17
294
Mikhail_K в сообщении #1532262 писал(а):
И его 0-объём получается равным $1$.
И это замечательно! Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group