2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 The modified Janssen Law
Сообщение20.09.2021, 17:06 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
Закон Янссена используется для расчета давления на дно сыпучих (гранулированных) материалов, помещенных в цилиндрическую емкость https://books.google.com.ua/books?id=6A ... ar&f=false (стр.85-87) . Ниже пытаюсь обобщить этот закон на случай усеченного конуса (загрузочной воронки). Выделим в засыпанном в воронку материале горизонтальный слой толщиной $dz$ (ось $z$ направлена вертикально вниз).
Изображение
Вертикально вниз на него действует сила тяжести $dmg =\rho S dz g=\rho\pi r^2 dz g$ ($\rho$ - плотность сыпучего материала). Вертикально вверх -сила давления $dp_vS=\pi r^2 dp_v$ и две силы со стороны боковой стенки. Первая сила - это вертикальная составляющая силы реакции опоры - $dN \cos\alpha$. Для нахождения $dN$ воспользуемся гипотезой (приближением) Янссена: $p_h=k p_v$, где $k$ - безразмерный коэффициент пропорциональности. Имеем: $dN =p_h dS_1 \sin \alpha=k p_v 2\pi r dz$. Здесь $dS_1=2\pi r dz/\sin\alpha$-площадь боковой поверхности элементарного усеченного конуса. Вторая сила -это вертикальная составляющая силы трения скольжения $\mu dN \sin\alpha=\mu k p_v 2\pi r dz\sin\alpha$. Тогда из условия равновесия получаем: $$\frac{2k(\mu \sin \alpha+\cos \alpha)}{r}p_v+\frac{dp_v}{dz}=\rho g$$. Учитывая, что $r=R-z \ctg \alpha$, где $R$-радиус верхнего (начального) основания всего усеченного конуса, окончательно получаем следующее ОДУ с граничным условием $p_v=0$ при $z=0$: $$\frac{2k(\mu \sin \alpha+\cos \alpha)}{R-z \ctg \alpha}p_v+\frac{dp_v}{dz}=\rho g$$.
Прошу проверить мои выкладки. Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: The modified Janssen Law
Сообщение21.09.2021, 18:37 
Аватара пользователя


08/10/09
539
Херсон
Меня смущает тот факт, что при выведении используется равенство силы трения покоя своему максимальному значению (т. е. силе трения скольжения). Да, это условие минимизирует скорость изменения вертикального давления с глубиной (см. уравнение равновесия, приведенное выше), но что это за принцип-ума не приложу. Может он поясняет условие минимума энергии деформации при заданной общей высоте столба материала?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group