The modified Janssen Law

[reterty]

Закон Янссена используется для расчета давления на дно сыпучих (гранулированных) материалов, помещенных в цилиндрическую емкость https://books.google.com.ua/books?id=6A ... ar&f=false (стр.85-87) . Ниже пытаюсь обобщить этот закон на случай усеченного конуса (загрузочной воронки). Выделим в засыпанном в воронку материале горизонтальный слой толщиной $dz$ (ось $z$ направлена вертикально вниз).

Вертикально вниз на него действует сила тяжести $dmg =\rho S dz g=\rho\pi r^2 dz g$ ($\rho$ - плотность сыпучего материала). Вертикально вверх -сила давления $dp_vS=\pi r^2 dp_v$ и две силы со стороны боковой стенки. Первая сила - это вертикальная составляющая силы реакции опоры - $dN \cos\alpha$. Для нахождения $dN$ воспользуемся гипотезой (приближением) Янссена: $p_h=k p_v$, где $k$ - безразмерный коэффициент пропорциональности. Имеем: $dN =p_h dS_1 \sin \alpha=k p_v 2\pi r dz$. Здесь $dS_1=2\pi r dz/\sin\alpha$-площадь боковой поверхности элементарного усеченного конуса. Вторая сила -это вертикальная составляющая силы трения скольжения $\mu dN \sin\alpha=\mu k p_v 2\pi r dz\sin\alpha$. Тогда из условия равновесия получаем:

$$\frac{2k(\mu \sin \alpha+\cos \alpha)}{r}p_v+\frac{dp_v}{dz}=\rho g$$

. Учитывая, что $r=R-z \ctg \alpha$, где $R$-радиус верхнего (начального) основания всего усеченного конуса, окончательно получаем следующее ОДУ с граничным условием $p_v=0$ при $z=0$:

$$\frac{2k(\mu \sin \alpha+\cos \alpha)}{R-z \ctg \alpha}p_v+\frac{dp_v}{dz}=\rho g$$

.
Прошу проверить мои выкладки. Заранее благодарен.

[reterty]

Меня смущает тот факт, что при выведении используется равенство силы трения покоя своему максимальному значению (т. е. силе трения скольжения). Да, это условие минимизирует скорость изменения вертикального давления с глубиной (см. уравнение равновесия, приведенное выше), но что это за принцип-ума не приложу. Может он поясняет условие минимума энергии деформации при заданной общей высоте столба материала?