Задача про нормализатор

[Азат Динуров]

H=<(15)(26)(37)(48),(12)(34)(56)(78)>
Надо найти нормализатор N(H) в S8(группа престановок 8 элементов) и найти чему изоморфна фактор группа нормализатора по H - N(H)/H !
Даже не представляю как решать(((

[Азат Динуров]

Неужели никто не знает как решать?

[bot]

Ну почему же не знаем - все знают.
Только с Вашей стороны пока никаких потугов не видно.
Что такое нормализатор, знаете?

[Азат Динуров]

Отчего ж не знать?
Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна.

[bot]

Э-э-э, так не пойдёт, Вы говорите меньше, чем Вас спросили, а должны были сказать, пусть на эпсилон, но больше, иначе получится, что мы клещами будем вытягивать из Вас решение.
Боюсь навлечь на себя гнев модератора за подталкивание, но всё же задам ещё пару вопросов:

1) Знаете ли Вы другое определение нормализатора, эквиваленттное приведённому?
2) Ну хотя бы группу H для начала посчитали?

Короче говоря, здесь помогают, а не решают - посмотрите правила.

[Азат Динуров]

N(H) = {g?S8 : gH(g)^(-1) = H}
H состоит из четырех элементов
e
sigma=(15)(26)(37)(48)
tau=(12)(34)(56)(78)
sig*tau=(16)(25)(38)(47)

Добавлено спустя 2 минуты 39 секунд:

Знаю что надо посчитать количество смежных классов и элементов,
но я не знаю как это сделать, и не знаю что такое смежные классы)))

[bot]

Правильно, но это опять меньше, чем Вас спросили.

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Азат Динуров писал(а):

и не знаю что такое смежные классы

Опаньки, а как же Вы собираетесь описывать фактор-группу?
Изучать немедленно!

[Азат Динуров]

То есть надо решить уравнение
gH(g)^(-1) = H , а я не знаю как это сделать ведь в S8 - 8! элементов!
И как посчитать количество смежных классов?

[bot]

Азат Динуров писал(а):

То есть надо решить уравнение
$gHg^{-1} = H$

Несколько в странной форме высказано, но верно - да нормализатор подгруппы $H$ в группе $G$ - это все элементы $g \in G$, которые нормализуют $H,$ то есть это $N_G(H)=\{g \in G \ | \ g^{-1}Hg = H\}$.
Ну, для начала попробуйте найти хотя бы один такой нормализующий элемент.

Азат Динуров писал(а):

И как посчитать количество смежных классов?

Теорема Лагранжа Вам знакома?

P.S. А заодно уж поучитесь писать формулы, а не то придёт модератор и отправит тему в карантин до исправления.
Проще всего с помощью значка "цитата" посмотреть как это делают другие.

[Азат Динуров]

Решил, но не доконца!!!!!
H=<c=(15)(26)(37)(48); t=(12)(34)(56)(78)>
1. Итак сначало надо явно выписать 4-ый элемент нашей подгруппы Н.
2. сt=(16)(25)(38)(47)=e(epsilon)
3. Пусть перестановка g переводит 1-a 2-b 3-c 4-d 5-e 6-f 7-g 8-h
4. Выпишем gc,gt,ge:
5. gc= 1-e 2-f 3-g 4-h 5-a 6-b 7-c 8-d.
7. gt= 1-b 2-a 3-d 4-c 5-f 6-e 7-h 8-g.
8. ge= 1-f 2-e 3-h 4-g 5-b 6-a 7-d 8-c
9. Рассмотрим первый случай
10. Пусть gc=cg
11. Тогда получаем перестановку (ae)(bf)(cg)(dh)
12. Пусть a=1, тогда e=5
13. Для b и f - 6 вариантов, для c и g - 4, для d и h - 2. Итого 6*4*2=48(а=1), соответственно 48*8=384(для любого а)
14. Рассмотрим первый подслучай 1.1
15. Пусть gt=tg
16. Тогда получаем перестановку (ab)(cd)(ef)(gh)
17. a=1,e=5,тогда b=2,f=6
18. Итого получаем 8 вариантов(а=1) и соответственно 64(для любого а)
19. Из первых двух условий следует, что ge должно быть равно eg
20. получаем перестановку (af)(be)(ch)(dg)
21. a=1,b=2,e=5,f=6 - 4 варианта для остальных (для а=1), соответственно 32(для любого а)
22. Подслучай 1.1 закончен
23. Подслучай 1.2:
24. Пусть ge=tg
25. Получаем перестановку (af)(be)(ch)(dg)
26. a=1,e=5,тогда f=2,b=6 и 8 вариантов для остальных
27. Из первых двух условий следует, что gt должно быть равно eg
28. Тем самым получаем для подслучая 1.2 – 32 варианта (для любого а)
29. То есть для первого случая получаем 32+32=64 элемента нормализатора
30. Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи (всего таких 4), откуда получается, что в нормализаторе 32*6=192 элемента
31. Теперь можно их выписать в явном виде
32. Я сделаю это для подслучаев 1.1 и 1.2, когда а=1
33. Сначала 1.1:
-первый элемент: а=1 b=2 c=3 d=4 e=5 f=6 g=7 h=8
откуда g=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
-второй элемент a=1 b=2 c=4 d=3 e=5 f=6 g=8 h=7
откуда g=(1)(2)(34)(5)(6)(78)
-третий элемент а=1 b=2 c=7 d=8 e=5 f=6 g=3 h=4
откуда g=(1)(2)(37)(48)(5)(6)
-четвёртый элемент a=1 b=2 c=8 d=7 e=5 f=6 g=4 h=3
откуда g=(1)(2)(38)(47)(5)(6)
34. Теперь 1.2:
-первый элемент a=1 b=6 c=3 d=8 e=5 f=2 g=7 h=4
откуда g=(1)(26)(3)(48)(5)(7)
-второй элемент a=1 b=6 c=4 d=7 e=5 f=2 g=8 h=3
откуда g=(1)(26)(3478)(5)
-третий элемент a=1 b=6 c=8 d=3 e=5 f=2 g=4 h=7
откуда g=(1)(26)(3874)(5)
-четвёртый элемент a=1 b=6 c=7 d=4 e=5 f=2 g=3 h=8
откуда g=(1)(26)(37)(48)(5)
Остальные 184 элемента нормализатора получаются аналогично.

[bot]

Азат Динуров писал(а):

Остальные 184 элемента нормализатора получаются аналогично.

Не было времени вникать, сколько у Вас элементов в нормализаторе 184 или 185, но неверно и то и другое - оно должно быть кратно 24, так как фактор-группа N/C (где C - централизатор подгруппы H) - это $S_3$.
Сюда я Вас и пробовал подтолкнуть. А вот централизатор оказался побольше, чем я думал - вручную считать неохота, разве что совсем делать нечего будет - вот как раз сейчас на письменный экзамен пойду.

[Азат Динуров]

Всего не 184 элемента, а 192!!!
8 элементов я выписал поэтому написал 184=192-8

[bot]

Совсем на бегу был, поэтому и не понял, что входило у Вас в остальное. Делать на экзамене было действительно нечего, вот и начал считать централизатор по модулю H. Пока нашёл 6 разных, спецы по конечным группам (которым тоже было делать нечего) уже посчитали, что их должно быть 8, после чего уже нетрудно было найти два пропущенных. Итого $4\times 8\times 6 = 192$ - сходится с Вашим.
А откуда задача то?

[Азат Динуров]

Одна из задач контрольной по практике АТЧ(я на первом курсе). Мне на дом дорешать дал. Если найду фактор-группу K/H, где K={g?G : g*sig*g^(-1)=sig; g*tau*g^(-1)=tau} и чему она изоморфна, то зачет получу...

[bot]

Уж и не знаю что сказать - разве что выложить решение. Задача конечно не из лёгких, особенно для тех, кто неделю назад не знал что такое смежные классы. Наверно этим и объясняется расхождение исходной формулировки с последней. Впрочем исходную можно было и так понять, что не нормализатор подгруппы нужен, а пересечение, а пересечение нормализаторов образующих, то есть централизатор. Это почти совпадает с последней, но не совсем - нужен не сам централизатор, а его фактор, что конечно заведомо проще.
А с другой стороны, аскеру откуда-то известен порядок нормализатора, что вряд ли можно чисто комбинаторно вычислить не зная его строения.