2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 13:08 


06/01/21
20
Здравствуйте!
Задача. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля. Уравнение профиля $x+y^2=1,$ где $x\ge0,\text{ }y\ge0$. Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления.


Буду предполагать, что частица в некоторый момент отрывается от горки, иначе вопрос о траектории не имел бы смысла.

Пока частица находится на горке, её траекторию описывает $f(y)=1-y^2.$ Запишу второй закон Ньютона в проекциях на оси
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m\ddot{x}&=&N_{x}-mg,\\
 m\ddot{y}&=&N_{y}. \\
\end{array}
\right.$$
Пусть частица оторвется от горки в момент времени $t=t_{0}$, тогда
$$\left\{
\begin{array}{lrr}
 \ddot{x}|_{t=t_{0}}=-g, \\
 \ddot{y}|_{t=t_{0}}=0.\\
\end{array}
\right.$$
При $t\le t_{0}$ будут справедливы соотношения $\dot{x}=-2y\dot{y},\text{ } \ddot{x}=-2\dot{y}^2-2y\ddot{y}$. Теперь я могу выписать $\dot{y}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{g}{2} и $\dot{x}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{g}{2}\cdot4y_{0}$, где $y_{0}=y(t_{0})$. Это позволяет найти квадрат скорости частицы $v^2(t_{0})=\frac{g(1+4y_{0})}{2}$ в момент времени $t=t_{0}$.

Из ЗСЭ следует, что
$1+4y_{0}=2(f(0)-f(y_{0})).$


Верно ли пока двигаюсь?


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 13:14 
Заслуженный участник


28/12/12
6978
Повернутые оси координат, $x$ и $y$ разных размерностей, не совпадающих с общепринятыми - вы делаете все, чтоб успешно запутаться :cry:.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 14:45 


17/10/16
1297
bataille
По моему, в этой задаче оси нужно ориентировать обычным образом ($X$ горизонтально). Тогда горка у вас получится в виде параболы на боку, а не вершиной вверх, как у вас.
Хотя, "скатывается с вершины профиля" вроде намекает на вариант, когда ось $Y$ вертикальна. Не совсем ясно.

Я бы так решал эту задачу. Из сохранения энергии мы знаем скорость тела в каждой точке горки. Находим проекции этой скорости на оси и дифференциируем эти проекции по времени. Получаем проекции ускорения. В точке отрыва вертикальная проекция ускорения должна стать равной $g$ (или горизонтальная проекция ускорения должна стать равной нулю), откуда нетрудно найти точку отрыва. Примерно так вы и решаете по моему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 15:38 


06/01/21
20
DimaM в сообщении #1531872 писал(а):
$x$ и $y$ разных размерностей


DimaM, не могли бы Вы разъяснить это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 15:52 


17/10/16
1297
bataille
Какая у вас размерность квадратов вертикальной и горизонтальной проекций скоростей? И квадрата модуля скорости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 16:09 


06/01/21
20
sergey zhukov в сообщении #1531894 писал(а):
Какая у вас размерность квадратов вертикальной и горизонтальной проекций скоростей? И квадрата модуля скорости?


Проблема начинается уже здесь
bataille в сообщении #1531869 писал(а):
... будут справедливы соотношения $\dot{x}=-2y\dot{y}$...

Я неправильно беру производную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение17.09.2021, 17:04 


17/10/16
1297
bataille
Из соображений размерности нужно было-бы записать $x+\frac{y^2}{a}=x_0$ т.к. метры с квадратными метрами складывать не положено ($a$ имеет размерность метров). У вас просто $x_0=1$, $a=1$. По моему, это особенно ни на что не влияет.

Ход решения вроде верный. В последнем уравнении должно быть 4, а не 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение21.09.2021, 11:02 


06/01/21
20
Начну заново. Условие в сообщении #1531869.

Будем считать, что $\dim{x}=\dim{y}=L.$
Профиль горки задан уравнением
$\begin{equation}
x+y^2=1,\qquad
\end{equation}$

причем $x\ge0, y\ge0$. Чтобы уравнение $\bold{(1)}$ выражало соотношение между координатами $x$ и $y$, измеренными в единицах длины, введем размерные коэффициенты $h$ и $a$, причем $a,h>0$; $\dim{a}=\dim{h}=L.$
Тогда из $\bold{(1)}$ следует
$x+\frac{y^2}{a}=h\Longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
 y=\sqrt{a(h-x)}\qquad\bold{(1.1)} \\
0\le x<h. \qquad\qquad\bold{(1.2)}
\end{array}
\right.\qquad
$

Второй закон Ньютона для движущейся частицы:
$ \left\{\begin{array}{l}
m\ddot{x}=N_{x} \\
m\ddot{y}=N_{y}-mg.
\end{array}
\right.\qquad$

Пока частица сохраняет контакт с горкой, её траекторию описывает уравнение $\bold{(1.1)}$, а значит
$\dot{y}=-\frac{a}{2}(a(h-x))^{-\frac{1}{2}}\cdot\dot{x},\quad\ddot{y}=-\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-\frac{3}{2}}\cdot\dot{x}^{2}-\frac{a}{2}(a(h-x))^{-\frac{1}{2}}\cdot\ddot{x}\Rightarrow \newline \Rightarrow v^{2}=\dot{x}^{2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-1})\quad\bold{(2.1)},$

где $v$ - скорость частицы. С другой стороны, квадрат скорости в любой момент времени можно найти из ЗСЭ
$\frac{mv^2}{2}=mg(y(0)-y(x))\Longleftrightarrow v^{2}=2g(\sqrt{ah}-y(x)).\quad\bold{(2.2)}$

Сопоставляя $\bold{(2.1)}$ и $\bold{(2.2)}$, получим
$\dot{x}^{2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-y(x))\quad\bold{(3)}.$

Пусть в момент времени $t_{0}$ происходит отрыв частицы, тогда
$ \left\{\begin{array}{l}
\ddot{x}|_{t=t_{0}}=0 \\
\ddot{y}|_{t=t_{0}}=-g
\end{array}
\right.\qquad\Rightarrow \dot{x}^{2}|_{t=t_{0}}=\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}\quad\bold{(3)},$

где $x_0=x(t_{0}).$ Из $\bold{(3)}$ и $\bold{(4)}$ следует
$\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x_{0}))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-y(x_0))\Leftrightarrow \newline \Leftrightarrow\frac{4g(a(h-x_0))^{\frac{3}{2}}}{a^2}(1+\frac{a^2}{4}(a(h-x_{0}))^{-1})=2g(\sqrt{ah}-\sqrt{a(h-x_{0})})\Leftrightarrow...\Leftrightarrow \newline $
$\Leftrightarrow y^{3}_{0}+\frac{3a^2}{4}y_{0}-\frac{a^2\sqrt{ah}}{2}=0.\qquad\bold{(5)}$

Теперь для конкретных $a$ и $h$ нетрудно найти точку $(x_{0},y_{0})$ отрыва частицы от горки, пользуясь соотношениями $\bold{(1.1)}$ и $\bold{(5)}$.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение24.09.2021, 15:30 


17/10/16
1297
bataille
Громоздкое какое-то решение. Впрочем, я попробовал несколько иначе, и тоже не лучше. Есть, наверное, способ попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Динамика материальной точки
Сообщение24.09.2021, 15:38 
Заслуженный участник


30/01/09
5058
sergey zhukov в сообщении #1532584 писал(а):
Есть, наверное, способ попроще.

Можно решать через радиус кривизны параболы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group