Доказать, что множество является сигма-кольцом

[Schwarte]

Пусть Х - некоторое бесконечное множество. Y - система всех подмножеств Х (не более чем счётных). Является ли система Y сигма-кольцом?

Определение сигма-кольца (аксиомы которые нужно проверить):
1) Y - кольцо
2) $\forall Z_1, Z_2, ..., Z_n, ... \in Y \Rightarrow \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}Zi \in Y$

Определение кольца (аксиомы которые нужно проверить):
1) $\forall A,B \in Y \Rightarrow A\cap B \in Y$
2) $\forall A,B \in Y \Rightarrow A\Delta B \in Y$, где $\Delta$ - симметрическая разность (объединение без пересечения)


Проверим:
1) (для кольца) - объединение счетных подмножеств Х - счетное множество, являющееся подмножеством Х.
2) (для кольца) - симметрическая разность счетных подмножеств Х - счетное множество, являющееся подмножеством Х.

1) (для полукольца) - проверено
2) (для полукольца) - не понимаю, верно или нет


Подскажите, пожалуйста, по поводу последнего пункта!

[Otta]

Schwarte
По поводу какого последнего пункта?
У Вас их тут толпа. Хотя доказательство исходного утверждения такого количества не требует. Зачем Вы занялись полукольцом?

Исходное утверждение, если его изложить другими словами, без использования слова "сигма-кольцо", несложно доказывается. Даже с нуля.
Попробуйте то, что требуется, сформулировать иначе.

[ewert]

Добавлю:

Schwarte в сообщении #1531822 писал(а):

$\forall A,B \in Y \Rightarrow A\Delta B \in Y$

Сочетание квантора "$\forall$" и стрелочки "$\Rightarrow$" называется тавтологией.

По существу же есть стандартная теорема: не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств -- не более чем счётно.