Подпоследовательность кубов

[kthxbye]

Имеем последовательность

$$a(2n+1, p, q) = a(n-2^{f(n)}, p, q), a(2n, p, q) = pa(n, p, q)+qa(2n-2^{f(n)}, p, q), a(0)=a(1)=1$$

где $f(n)$ это A007814.

Доказать, что при любых $p,q \in \mathbb{Z}$ и любом $n\in \left\lbrace0, \mathbb{N}\right\rbrace$ число $|a((4^n-1)/3, p, q)|$ является кубом целого числа.

Можно отметить, что $a(2(4^n-1)/3, p, q)$ делится без остатка на $a((4^n-1)/3, p, q)$. В аналогичной задаче, где изначально задано

$$b(2n+1, p, q) = b(n-2^{f(n)}, p, q), b(2n, p, q) = pb(n, p, q)+qb(n-2^{f(n)}, p, q), b(0)=b(1)=1$$

легко осуществляется красивая свертка

$$b(2(4^n-1)/3, p, q)=(p+q^2)b((4^n-1)/3, p, q)+pqb(2(4^{n-1}-1)/3, p, q)$$

для любых $p,q \in \mathbb{Z}$ и при $n > 1$. Вполне возможно, что аналогичная свертка существует и для исходной задачи.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.