Полугруппы на множестве из 2 элементов.

[IndexOutOfRange]

Опишите все различные структуры полугруппы на множестве из двух элементов.

Возможно задачу можно решить как-то иначе, более правильным способом. Но я ее делал в лоб. Бинарное отношение на множестве из двух элементов можно ввести лишь 16 способами. Если перебрать все эти 16 вариантов, то выяснится, что лишь 8 из них имеют свойство ассоциативности. То есть являются полугруппами. Чтобы их перечислить, я скажу, что каждой бинарной операции я поставлю в соответстие 4-ку вида: $(x_1, x_2, x_3, x_4)$. Эта четверка будет означать, что $0 \cdot 0 = x_1, 0 \cdot 1 = x_2, 1 \cdot 0 = x_3, 1 \cdot 1 = x_4$. Тогда полугруппами являются:
$(0, 0, 0, 0)$
$(0, 0, 0, 1)$
$(0, 0, 1, 1)$
$(0, 1, 0, 1)$
$(0, 1, 1, 0)$
$(0, 1, 1, 1)$
$(1, 0, 0, 1)$
$(1, 1, 1, 1)$

Итак, верно ли я понял и решил задачу? Можно ли было ее решить не перебором? А еще интересно, есть ли формула для количества полугрупп на конечном множестве?

[Null]

A023814 - формулы нет.
Еще можно брать неизоморфные полугруппы, получим A027851