найти продольные колебания стержня

[AeMK]

Помогите, пожалуйста, решить задачу по матфизике :

К концу полуограниченного стержня приложена продольная сила F(t) с момента t=0.
Найти продольные колебания стержня при t>0 , если начальные скорости и начальные отклонения его точек равны нулю.
(решить надо методом распространяющихся волн (Даламбера))

Будак,Самарский,Тихонов, "Сборник задач по математической физике"
глава II задача 74 стр. 29

[Хет Зиф]

AeMK
Дык, так там же у вас в задачнике ответ есть: стр 203. Или вам интересен вывод формулы Д'Аламбера ??

[AeMK]

Мне интересно как до этого ответа дошли.
Мне нужно решение, а не ответ.

[Хет Зиф]

AeMK
По данному условию, вы записываете волновое уравнение с граничными условиями, а дальше просто формула. Почитайте хоть немного теорию, и вы сразу все поймете. Задача решается в одно действие.

[Zai]

Исходное уравнение
$u_{tt}=a^2u_{xx}
По закону Гука
$Eu_x=\sigma
Приложенная сила противоположна и равна произведению напряжения на площадь
$F(t)=-\sigma S
Граничное условие
$u_x(0,t)=- \frac {F(t)} {ES}
Пусть $ v(x,t)=u_x(x,t)
Для него также справедливо волновое уравнение
$v_{tt}=a^2v_{xx}
Решение уравнения будет отлично от нуля только для $x<at
$v(x,t)=- \frac {F(t- \frac x a )} {ES} или
$u_x(x,t)=- \frac {F(t- \frac x a )} {ES}
Смещение точки $x=at равно нулю.
Смещение всех точки левее дается соотношением
$u(x,t)=-\int_0^{at-x} u_x(\nu) d \nu= \frac 1 {ES} \int_0^{at-x} F( \frac {\nu} a) d \nu
Делая замену переменных $\xi=\frac {\nu} a получим
$u(x,t)= \frac 1 {ES} \int_0^{t- \frac x a} F( \xi)d( \xi a)
С учетом $a= \sqrt { \frac E { \rho}}
$u(x,t)= \frac 1 { S \sqrt {E \rho}} \int_0^{t- \frac x a} F( \xi)d \xi

[AeMK]

Zai - огромное спасибо!