Найти сумму ряда

[ivanvo]

Здравствуйте, уважаемые математики!
В ходе решения задачи возникла необходимость найти сумму следующего ряда

$ S = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\left(n - \sqrt{n^2+\beta}\right)\right) $

при $\beta\gg1 $.
Я пытался сделать так: разбил ряд на два — в одном сумма от 1 до $\sim\sqrt{\beta}$, второй — все остальное. Однако как провести оценку? В ответе я ожидаю увидеть линейную зависимость при $\beta\gg1$, что подтверждается численным исследованием.
Также я пробовал найти сумму, сведя задачу к поиску комплексного интеграла (согласно т. о вычетах)

$ S\sim\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\int\limits_{C_N}dz \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\left(z - \sqrt{z^2+\beta}\right)\right) \tg\left(\pi z\right) $,

где интегрирование происходит по окружности радиуса $N+\frac{1}{2}$, однако взять интеграл также не получилось.
Проблема в том, что у меня просто нет идей как оценить ряд или же взять интеграл. Прошу помочь разобраться, с чего вообще можно начать.

[Farest2]

А как Вы численное исследование, подтверждающее линейную зависимость, проводили? Обрубали ряд до $-N\le n\le N$ и всё? Если "да", то делали ли эксперименты для $\beta\ll N$, $\beta\sim N$ и $\beta\gg N$?

[mihiv]

Можно получить грубую верхнюю оценку для $S,$ линейно зависящую от $\beta $. Для этого запишем $S=S_1+S_2+S_3, S_1=\sum \limits _{-\beta }^{\beta }, S_2=\sum \limits _{\beta }^{\infty }, S_3=\sum \limits _{-\infty }^{-\beta }$.
Так как $\sin ^2(\dots )\leq 1$, то $S_1\leq 2\beta +1$. Оценим синус в $S_2$, учитывая, что $n^2\gg \beta , \sin ^2\dfrac {\pi }2(n-\sqrt {n^2+\beta })\leq \dfrac {\pi ^2\beta ^2}{16n^2}, S_2\leq \dfrac {\pi ^2\beta ^2}{16}\sum \limits _{\beta }^{\infty }\dfrac 1{n^2}=\dfrac {\pi ^2\beta }{16}+O(1).$
Такая же оценка получается для $S_3,\text {поэтому} S\leq (2+\dfrac {\pi ^2}8)\beta +O(1).$

[Farest2]

Спасибо. Приятный классический подход, но мне хотелось получить асимптотику.

Сделаем замену $\beta=c^2$, где $c>0$, чтобы сократить ТеХ'овский набор.

Для вычисления суммы ряда

$$ S_\infty=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \sin^2\Bigl(\frac{\pi}{2}\bigl(n-\sqrt{n^2+c^2}\bigr)\Bigr) =\frac12\sum_{n\in\mathbb{Z}} \Bigl\{1-\cos\bigl(\pi[n-\sqrt{n^2+c^2}\,]\bigr)\Bigr\} $$

перейдём к частичной сумме

$$ S_N=\frac12\sum_{-N\le n\le N} (-1)^n \Bigl\{(-1)^n-\cos\bigl(\pi\sqrt{n^2+c^2}\,\bigr)\Bigr\} $$

и полистаем Интегралы и ряды (том 2), где довольно много интегралов гельмгольцевского типа. Формула (2.12.21.4) подходит:

$$ \int_0^a \frac{\cos(b\sqrt{a^2-x^2}\,)}{\sqrt{a^2-x^2}}\,J_1(cx)\,dx =\frac{\cos ab-\cos(a\sqrt{b^2+c^2}\,)}{ac},\quad (a>0). $$

Приводим её к виду

$$ \int_0^{\pi/2} \cos(\pi n\cos t)\,J_1(\pi c\sin t)\,dt =\frac{(-1)^n-\cos(\pi\sqrt{n^2+c^2}\,)}{\pi c}\,. $$

Тогда
\begin{align} S_N&=\frac{\pi c}{2}\sum_{-N\le n\le N} (-1)^n\! \int_0^{\pi/2} \cos(\pi n\cos t)\,J_1(\pi c\sin t)\,dt={} \nonumber\\ &{}=\frac{\pi c}{2}\!\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t) \frac{\sin\bigl(\pi(2N+1)\sin^2\tfrac{t}{2}\bigr)} {\sin\bigl(\pi\sin^2\tfrac{t}{2}\bigr)}\,dt. \nonumber \end{align}
С этим интегралом (то ли дирихлевского, то ли фейеровского типа) аккуратно разобраться я не смог. Поэтому действуем грубо --- возвращаемся от $S_N$ к $S_\infty$ и ряд из косинусов заменяем на дельта-функцию:

$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}} \cos nx=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \delta(x+2\pi n) \quad\Rightarrow\quad \sum_{n \in\mathbb{Z}} \;(-1)^n\cos nx =\sum_{n~\mbox{\scriptsize\rm odd}} \delta(x+\pi n). $$

Нам нужен только вариант $n=-1$:
\begin{align} S_\infty&=\frac{\pi c}{2}\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t) \sum_{n\in\mathbb{Z}} (-1)^n\cos(\pi n\cos t)\,\,dt={} \nonumber\\ &{}=\frac{\pi c}{2}\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t) \delta(\pi\cos t-\pi)\,dt={} \nonumber\\ &{}=\frac{\pi c}{2}\int_0^{\pi/2} J_1(\pi c\sin t) \frac{\delta(t)}{\pi\sin t}\,dt=\frac{\pi c^2}{4}. \nonumber \end{align}
Линейность по $\beta$ получена, но неудовлетворённость от физического уровня строгости осталась.

[Farest2]

Что-то меня "драпировка" ядра Дирихле заворожила -- я боялся его тронуть. На самом деле, замена $x=\sin^2\tfrac{t}{2}$ и стандартная теорема из рядов Фурье. В общем, и из $S_N$ всё получается.

[Farest2]

Без ляпов не обошлось. Забыл $\pi$:

$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}} \cos nx=\pi\sum_{n\in\mathbb{Z}} \delta(x+2\pi n). $$

Поэтому

$$ S_\infty=\frac{\pi^2 c^2}{4}. $$

Через сингулярный интеграл Дирихле всё-таки проще...