Генерализированные числа Каталана C(p, q; n) через p, q

[kthxbye]

Вот занимательный набросок (в будущем потенциально A347205), содержащий ссылку на статью, где дается общее представление о генерализированных числах Каталана. Исходя из подхода представления $a((4^n - 1)/3, p, q)$ через аналогичные члены (см. конец раздела формулы) появилась следующая гипотеза:

$$\operatorname {C}(p, q; n) = [n<2] + [n>1]\sum\limits_{k=0}^{n-1}p^{k}q^{n-k-1}\sum\limits_{j=0}^{k}q^{j}\binom{n+j-2}{n-2}\frac{n-j-1}{n-1}$$

Проверил на множестве $p, q, n$, все верно. Как это можно доказать?

К слову,

$$\binom{n+j-2}{n-2}\frac{n-j-1}{n-1}=T(n-2,j)$$

где $T(n,k)$ это A009766.

[Someone]

(Оффтоп)

kthxbye в сообщении #1531041 писал(а):

генерализированных

Обобщённых?