Распределение плотности вероятности почти свободной частицы

[reterty]

Рассмотрим задачу об определении волновой функции частицы, движущейся в одномерном силовом поле $U(x)$ (квантовая яма или потенциальный барьер). Ниже будем всюду предполагать, что $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\gg U_0$, где $E$-полная энергия частицы; $U_0$-глубина ямы (или высота барьера). Для простоты, будем также считать, что яма является симметричной и центрированной на начало координат. Тогда, согласно ЛЛ т.3, параграф 45:

$$\psi(x) \approx e^{ikx}\left( 1-i\frac{m}{\hbar^2k}\int U(x)dx\right).$$

Отсюда немедленно получаем одномерное распределение плотности вероятности:

$$\vert\psi \vert^2\approx 1+\left(\frac{m}{\hbar^2k}\int U(x)dx \right)^2.$$

Что же мы видим? Первое, что бросается в глаза, это то, что распределение вероятности для почти свободной частицы совершенно не зависит от типа потенциального профиля (яма или барьер). Структура этого выражения такова, что в обоих случаях плотность вероятности минимальна (равна 1) в начале координат затем довольно быстро растет к границам квантового обьекта и далее асимптотически стремится к постоянному значению на $\pm \infty$. Сей факт "одинаковости" (универсальности) поведения плотности вероятности ну никак нельзя обьснить в рамках чисто классического подхода, согласно которому время нахождения высокоэнергетической частицы вблизи притягивающего центра меньше нежели вблизи аналогичного отталкивающего (рассеивающего) центра. Я конечно понимаю, что всегда имеет место частичное отражение волны как от ямы так и от барьера, но проблему "одинаковости" этот эффект явно не решает.... Может быть это все следствие одномерности задачи?

[Cos(x-pi/2)]

reterty в сообщении #1530981 писал(а):

Отсюда немедленно получаем

Нет. Раз выражение для $\psi$ содержит член нулевого порядка, то надо к нему дописать и член второго порядка, чтобы получить произведение $\psi \psi^*$ с точностью до второго порядка по $U$ включительно.

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1530988 писал(а):

reterty в сообщении #1530981 писал(а):

Отсюда немедленно получаем

Нет. Раз выражение для $\psi$ содержит член нулевого порядка, то надо к нему дописать и член второго порядка, чтобы получить произведение $\psi \psi^*$ с точностью до второго порядка по $U$ включительно.

Понял. Вопрос только в том, как ее искать в случае непрерывного спектра..... Просто сама по себе волновая функция совершенно не интересна (лишена физического смысла).

[reterty]

И еще член второго порядка квадратичен по $U$. Следовательно в его "перекресте" с членом нулевого порядка при вычислении квадрата модуля различие между ямой и барьером так же исчезнет....

[Cos(x-pi/2)]

Может, стоит обдумать ситуацию ещё и вот с какой точки зрения. Найденные приближённо поправки не во всех случах жизни обязаны описывать изменение модуля волновой функции. В задаче о рассеянии волновая функция комплексна, и поправки могут относиться к фазовому множителю (ситуация типа $e^{i\alpha} = 1+i\alpha+... ).$