Деление точек на непересекающиеся множества

[kotenok gav]

Пусть на окружности расположены $n$ пронумерованных точек. Подскажите, пожалуйста, как называется (или хотя бы дайте какую-нибудь статью с исследованием этого числа) количество способов выбрать из этих точек непересекающиеся множества из $a_1$, $a_2$, ..., и $a_k$ последовательных точек (к примеру, если $a_1=a_2=\ldots=a_k=1$, то это число - $n(n-1)\ldots(n-k+1)$, т.е. символ Похгаммера).

[Soul Friend]

Скажите, пожалуйста, как пронумерованы точки на окружности: последовательно или хаотично.
И если, к примеру, количество точек на окружности $n=3$, то каков будет ответ на вопрос " количество способов выбрать из этих точек непересекающиеся множества из $a_1$, $a_2$, ..., и $a_k$ последовательных точек".
Тоже хочу разобраться, но не понял сути.
Сначала подумал что это просто разбиение числа $n$, но погуглив символ Похгаммера, во мне затаились смутные сомнения.

[g______d]

Не знаю, как называется, но мне кажется, что оно выражается через число разбиений $n-a_1-\ldots-a_k$ на $k$ слагаемых. А именно, если зафиксировать порядок, в котором идут интервалы, и положение первого интервала, то дальнейшее определяется длинами промежутков между интервалами, единственное условие на которые -- чему равна их сумма.

[g______d]

А, ну и разбиения здесь упорядоченные, поэтому получится просто биномиальный коэффициент (точнее, сочетания с повторениями, которые к нему сводятся).

Пусть $s=a_1+\ldots+a_k-k$. Тогда ответ будет видимо $(n-s)(n-s-1)\ldots(n-s-k+1)$ (ясно, что ответ не поменяется, если уменьшить $n$ и одно из $a$ на единицу). То есть ещё проще.

[kotenok gav]

Soul Friend в сообщении #1534604 писал(а):

Скажите, пожалуйста, как пронумерованы точки на окружности: последовательно или хаотично.

Неважно, важно то, что они различны.

g______d, допустим, $n=6$. Ваша формула даёт одинаковые числа в случаях $a_1=a_2=3$ и $a_1=2, a_2=4$. А это явно неправильно.

-- 12 окт 2021, 14:36 --

$s=4$, т.е. ваша формула говорит, что варианта 2. А на самом деле в одном случае их 3, а в другом 6.

[g______d]

kotenok gav в сообщении #1534665 писал(а):

А это явно неправильно.

Как я понял задачу, в обоих примерах ответ 6, т. к. в первом посте формула предполагает, что сам набор множеств упорядочен. Другими словами, при $n=2$, $a_1=a_2=1$ способы $(\{1\},\{2\})$ и $(\{2\},\{1\})$ считаются разными, что даёт 6 вариантов при $n=6$, $a_1=a_2=3$.

Но моя формула всё равно неправильная. Я не в тот момент зафиксировал положение первого множества и испортил первый множитель.

Попробуем так:

$$ n (k-1)! \binom{n-a_1-\ldots -a_k+k-1}{k-1}=n(n-s-1)(n-s-2)\ldots(n-s-k+1). $$

$n$ вариантов выбрать положение первого множества. $\binom{n-a_1-\ldots a_k+k-1}{k-1}$ вариантов выбрать набор длин промежутков на окружности между соседними множествами. Ещё $(k-1)!$ выбрать в каком порядке идут оставшиеся $k-1$ множеств.