несобственный интеграл, вопрос

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста ответить на вопрос: "Может ли непрерывная знакоположительная функция быть неограниченной, а несобственный интеграл от нее существовать?"

Пока что никаких идей.

[Brukvalub]

Может.

[Narn]

Может.

[Бодигрим]

Поэкспериментируйте с интегралами вида

$$\int_0^1 x^{\alpha}\,dx$$

[Echo-Off]

Может.

[ShMaxG]

А, точно.

$$ \int\limits_0^1 {x^{ - 1/2} dx} $$

подходит спасибо

[Narn]

Вообще-то я подумал про несобственный интеграл по неограниченному множеству. Там эта задача хоть какой-то смысл имеет. Или вы не делите несобственные интегралы на первый и второй род?

[Бодигрим]

Цитата:

Вообще-то я подумал про несобственный интеграл по неограниченному множеству.

Ну тогда можно прилепить к записанной выше подынтегральной функции какое-нибудь быстроубывающее непрерывное продолжение вдоль положительной полуоси - будет тот же результат. Совсем тривиальный вариант:

$$ \int_0^{+\infty} \max(0,x^{-1/2}-1) $$

.

[Narn]

Ну да. Или заменить маленькие кусочки графика какой-нибудь интегрируемой на полуоси положительной функции "пиками", площади которых образует сходящийся ряд (основание длины $1/n^3$, высота $n$). Вариантов много.