Перестановка последовательности

[kthxbye]

Пусть $f(n)$ это A059894,

$$f(2n+1) = f(n) + 2^{\left\lfloor\log_2{n}\right\rfloor}, f(2n) = f(n) + 2^{\left\lfloor\log_2{n}\right\rfloor+1}, f(1)=1$$

и задана последовательность

$$a(2n+1) = a(n), a(2n) = pa(n) + qa(n - 2^{g(n)}) + a(2n - 2^{g(n)}), a(0)=1$$

где $g(n)$ это A007814,

$$g(2n+1) = 0, g(2n) = g(n) + 1, g(1) = 0$$

тогда если имеем

$$b(2n+1) = b(n), b(2n) = qb(n) + pb(n - 2^{g(n)}) + b(2n - 2^{g(n)}), b(0)=1$$

то справедливо

$$a(2n) = b(2f(n)), b(2n) = a(2f(n))$$

Здесь $p,q$ любые, вплоть до иррациональных.

Как это можно доказать?