Если про Эрлангенскую программу, то там определений не содержится.
Да, про нее. Определение, насколько я понимаю, такое:
Пусть
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
- произвольное множество,
![$S(X)$ $S(X)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/0/ff047d6960d7866926043e3527b3f98182.png)
- группа всех его биекций относительно композиции,
![$G \subset S$ $G \subset S$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/6/31659447f8ddc480aad823ddf602ac3382.png)
- подгруппа группы
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
(т.е. иными словами группа преобразований множества
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
). Фигурой
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
можно называть любое подмножество
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
(ну или можно ввести какие-нибудь естественные ограничения, если на
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
есть какая-то еще структура). Будем говорить, что фигура
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
эквивалентна фигуре
![$F_2$ $F_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/5/3956a0723425282b441b7a17d9cc4be782.png)
относительно группы
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, если существует преобразование из
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, переводящее
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
в
![$F_2$ $F_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/5/3956a0723425282b441b7a17d9cc4be782.png)
. Это отношение эквивалентности. Под геометрией будем понимать различные теоремы, утверждающие необходимые и достаточные условия эквивалентности фигур. Т.е. геометрия занимается изучением инвариантов фигур относительно заданной группы преобразований. Я изучал это по Винбергу, Курс Алгебры, глава 4, параграф 2. По мне так вполне определение геометрии.