Чем алгебра отличается от геометрии?

[Harris Starks]

Both algebra and geometry are two of the most popular branches of mathematics, which are introduced to kids in middle school around the world. Although both of these branches are taught to kids at the same level, there are many ways in which they differ from each other. Unlike geometry, algebra is divided into different sub-branches; pre-algebra, universal algebra, elementary algebra, abstract algebra, and linear algebra. To be precise, algebra uses variables in the form of symbols or letters (like ‘x’ and ‘y’) to act as numbers or represent a quantity which are then used in equations and making formulas. It helps in understanding a general relationship between variables and numbers. On the other hand, geometry is the study of lines, graphs, angles, varied dimensional shapes and solids. Geometry helps the child in understanding different geometric shapes and focuses on formulas and properties which are used to figure missing angles or length of a shape. Moreover, it also introduces the child to the use of a compass, scale and a protractor to measure lengths and angles. This shows how different both of these branches are in terms of learning goals and objectives.

[Alexey Rodionov]

Harris Starks в сообщении #1531066 писал(а):

Both algebra and geometry are two of the most popular branches of mathematics, which are introduced to kids

I don't mean math for kids.

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov, а стандартное определение геометрии (в стиле групп преобразований) Вас всем устраивает? Просто Вы же наверняка это знаете, но тем не менее тему создали. А значит оно Вас чем-то не устраивает(?), было бы интересно узнать чем.

[Alexey Rodionov]

EminentVictorians в сообщении #1531123 писал(а):

а стандартное определение геометрии (в стиле групп преобразований)

О чем это? Если про Эрлангенскую программу, то там определений не содержится. Сама Программа укрепляет меня во мнении, что ярко выраженной разницы между алгеброй и геометрией нет. Вот и Гильберт, говорят, (ссылку дать не могу) считал, что сила математики в единстве её частей.

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov в сообщении #1531204 писал(а):

Если про Эрлангенскую программу, то там определений не содержится.

Да, про нее. Определение, насколько я понимаю, такое:

Пусть $X$ - произвольное множество, $S(X)$ - группа всех его биекций относительно композиции, $G \subset S$ - подгруппа группы $S$ (т.е. иными словами группа преобразований множества $X$). Фигурой $F$ можно называть любое подмножество $X$ (ну или можно ввести какие-нибудь естественные ограничения, если на $X$ есть какая-то еще структура). Будем говорить, что фигура $F_1$ эквивалентна фигуре $F_2$ относительно группы $G$, если существует преобразование из $G$, переводящее $F_1$ в $F_2$. Это отношение эквивалентности. Под геометрией будем понимать различные теоремы, утверждающие необходимые и достаточные условия эквивалентности фигур. Т.е. геометрия занимается изучением инвариантов фигур относительно заданной группы преобразований. Я изучал это по Винбергу, Курс Алгебры, глава 4, параграф 2. По мне так вполне определение геометрии.

[Alexey Rodionov]

EminentVictorians в сообщении #1531209 писал(а):

Под геометрией будем понимать различные теоремы, утверждающие необходимые и достаточные условия эквивалентности фигур.

А под алгеброй что будем понимать?

[Pphantom]

Может быть, все-таки пора определиться с тем, кто такие "дети"? А то ведь ответы для младших школьников, старшеклассников, студентов околоматематических специальностей и студентов-математиков, выбирающих кафедру, явно будут разными - причем не только по уровню сложности, но и по фактическому содержанию.

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov в сообщении #1531292 писал(а):

А под алгеброй что будем понимать?

Науку об алгебраических структурах и их связях друг с другом. Далеко ведь не все алгебраические вещи имеют геометрическую интерпретацию. Какую геометрическую интерпретацию имеет, например, теорема Веддерберна?

[Alexey Rodionov]

EminentVictorians в сообщении #1531302 писал(а):

Далеко ведь не все алгебраические вещи имеют геометрическую интерпретацию.

Не имеют, пока никто не интерпретировал. И прикладная математика становится таковой, когда
кто-нибудь приложит. Дело времени.

-- 12.09.2021, 18:19 --

Pphantom в сообщении #1531296 писал(а):

пора определиться с тем, кто такие "дети"

Это те, кого вопрос интересует или интересовал, а окончательное и непоколебимое мнение еще не сложилось.

[Pphantom]

Созданная avlanov ветвь обсуждения перенесена в профильный раздел.