Вычление множителей (не всегда простых)

[kthxbye]

Введем ряд функций:

$$\ell(n) = \ell(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor)+1, \ell(1)=\ell(2)=0$$

$$p(n) = n - 3^{\ell(n)}$$

$$s(3n) = s(n) + 1, s(3n+1) = s(3n+2) = s(n), s(1) = s(2) = 0$$

C их помощью рекуррентно задаем последовательность:

$$a(n) = (s(n) + 2)a(p(n))$$

Имеем:

$$a(3n+1) = 2a(n), a(3n+2) = 4a(n)$$

Самое интересное:

$$a(n) = q_1q_2\cdots q_{f(n)}, a(3n)=(q_1+1)(q_2+1)\cdots (q_{f(n)}+1)$$

где $f(n)$ это A053735, сумма цифр числа в троичной системе счисления.

Примеры:

$$\begin{bmatrix} n & a(n) & a(3n) & q_1q_2\cdots q_{f(n)} \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 9 & 2\cdot2 \\ 3 & 3 & 4 & 3 \\ 4 & 4 & 9 & 2\cdot2 \\ 5 & 8 & 27 & 2\cdot2\cdot2 \\ 6 & 9 & 16 & 3\cdot3 \\ 7 & 8 & 27 & 2\cdot2\cdot2 \\ 8 & 16 & 81 & 2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 9 & 4 & 5 & 4 \\ 10 & 6 & 12 & 2\cdot3 \\ 11 & 12 & 36 & 2\cdot2\cdot3 \\ 12 & 9 & 16 & 3\cdot3 \\ 13 & 8 & 27 & 2\cdot2\cdot2 \\ 14 & 16 & 81 & 2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 15 & 27 & 64 & 3\cdot3\cdot3 \\ 16 & 16 & 81 & 2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 17 & 32 & 243 & 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 18 & 16 & 25 & 4\cdot4 \\ 19 & 18 & 48 & 2\cdot3\cdot3 \\ 20 & 36 & 144 & 2\cdot2\cdot3\cdot3 \\ 21 & 27 & 64 & 3\cdot3\cdot3 \\ 22 & 16 & 81 & 2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 23 & 32 & 243 & 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 24 & 81 & 256 & 3\cdot3\cdot3\cdot3 \\ 25 & 32 & 243 & 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ 26 & 64 & 729 & 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 \\ \end{bmatrix}$$

Может ли существовать какая-нибудь простая зависимость для множителей $q$? Можно ли имея $a(n)$ и $a(3n)$ гарантированно вычленять их через некую процедуру?