wedge- вопрос по топологии

[Таня Тайс]

Даны два отображения

$$f \colon S^{3} \to S^{2}, \; (z^{0},z^{1}) \mapsto \frac{z^{1}}{z^{0}}$$

-это отображение сурьективно (отображение Хопфа),

$$g \colon S^{3} \to S^{2}$$

-отображение сферы в точку.

Верно ли, что

$$ S^{2}\vee S^{4}=S^{2}\cup_{g}D^{4},$$

$$ \mathbb{C}P^{2}= S^{2}\cup_{f}D^{4}$$

?

ОГРОМНОЕ СПАСИБО.

p.s. Чему равно

$$ S^{3}\cup_{f}D^{3}$$

p.p.s. Я думаю, что

$$ S^{2}\vee S^{4}=S^{2}\cup_{g}S^{4},$$

но в источнике, которому я доверяю, написано так, как выше.

[Narn]

Таня Тайс писал(а):

Верно ли, что

$$ S^{2}\vee S^{4}=S^{2}\cup_{g}D^{4},$$

p.p.s. Я думаю, что

$$ S^{2}\vee S^{4}=S^{2}\cup_{g}S^{4},$$

но в источнике, которому я доверяю, написано так, как выше.

Я практически невежествен в топологии, увы, но на первый вопрос попытаюсь ответить. По-моему, верно в источнике. $S^3$ является границей $D^4$, отображение $g$ сворачивает эту границу в одну точку и получается $S^4$. Потом в этой точке $S^4$ приклеивается к $S^2$ и получается букет.

[Narn]

Кстати, о

Таня Тайс писал(а):

p.s. Чему равно

$$ S^{3}\cup_{f}D^{3}$$

$D^3$ - это трехмерный диск (шар). Как в нем расположена $S^3$ - трехмерная сфера, являющаяся границей $D^4$? Ведь для приклеивания по отображению нужно отображение из подмножества.

[Таня Тайс]

Narn писал(а):

отображение $g$ сворачивает эту границу в одну точку и получается $S^4$.

Появилась надежда всё-таки разобраться!:)

Narn,
Вы не могли бы это место поподробнее объяснить?
Спасибо.

Добавлено спустя 4 минуты 4 секунды:

Re: wedge- вопрос по топологии

Narn писал(а):

$D^3$ - это трехмерный диск (шар). Как в нем расположена $S^3$ - трехмерная сфера, являющаяся границей $D^4$? Ведь для приклеивания по отображению нужно отображение из подмножества.

Да, Вы правы...

Нужно было бы спросить, чему равно

$$ S^{2}\cup_{f}D^{3}$$

[Narn]

Кажется, так...

Открытый диск гомеоморфен сфере без точки (стереографическая проекция устанавливает гомеоморфизм между $S^n$ без одной точки (полюса) и $R^n$, $R^n$ гомеоморфно открытому диску). Если границу $D^n$ (то есть $S^{n-1}$)отобразить в эту точку, то получится непрерывное отображение $g_1 \colon D^n \to S^n$. Наше $g$ - это сужение $g_1$ на $S^{n-1}$.
Проще всего это увидеть с $D^2$. Там наглядно очевидно, что при "склеивании" (отождествлении) всех точек границы получится $S^2$.

Добавлено спустя 5 минут 23 секунды:

Таня Тайс писал(а):

Нужно было бы спросить, чему равно

$$ S^{2}\cup_{f}D^{3}$$

По моему, нужно было бы спросить, чему равно

$$ S^{2}\cup_{f}D^{4}$$

[Таня Тайс]

$$ S^{2} \cup_{f} D^{4} = \mathbb{C}P^{2}$$

,
судя по Вашему объяснению...

Добавлено спустя 2 минуты 47 секунд:

$$ \mathbb{C}P^{2} =\mathbb{C}P^{1} \cup $$

$$\mathbb{C}P^{1}=S^{2}$$

[Narn]

М-да, не заметил. Только это я не обьяснял. Не знаю.

Таня Тайс писал(а):

$$ \mathbb{C}P^{2} =\mathbb{C}P^{1} \cup $$

$$\mathbb{C}P^{1}=S^{2}$$

А ответ $D^4$ Вас не устроит?

Вообще, если из $\mathbb{R}P^2$ выкинуть $\mathbb{R}P^1$, то получится $D^2$. А что означает в данном случае $\cup$?

[Таня Тайс]

Narn писал(а):

А ответ $D^4$ Вас не устроит?

Очень даже устроит! Если это так, но я этого не вижу...

$$ \cup $$

должен обозначать

$$\cup_{f} $$

, т.е. склейку по

$$f $$

.

Вы мне очень помогли, спасибо!