задачи по рядам

[RIP]

Ряд сходится абсолютно при $\mathop{\mathrm{Re}}x>0$ и условно при $\mathop{\mathrm{Re}}x\in(-1;0]$, за исключением точки $x=0$ (в которой сходимость абсолютная).

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Ясно также, что для вещественных $x$ этого и достаточно: ряд будет знакочередующимся и сходится по признаку Лейбница.

Тогда уж уточню: при неотрицательных х он сходится абсолютно, а при остальных, указанных ewert - условно. Вообще-то, это задача № 2820 из Демидовича

[Spook]

Мда... попробую-ка я это все сам получить.

[ewert]

RIP писал(а):

Ряд сходится условно при $\mathop{\mathrm{Re}}x\in(-1;0]$

Кстати, а почему? Я, собственно, охотно верю, но почему он в этой полоске всё же сходится? Наверное, там надобно признак Абеля приплесть, да вот как-то элементарно он не приплетается, а вдумываться лень.

[RIP]

Общий член ряда равен $\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)$ (где $n^{x+1}=\exp\bigl((x+1)\log n\bigr)$, $\log n\in\mathbb R$). И всё сводится к ряду $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}$, который сходится при $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$.

[Spook]

ну вот, можно сказать, решили мне задачу

[ewert]

RIP писал(а):

Общий член ряда равен $\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)$ (где $n^{x+1}=\exp\bigl((x+1)\log n\bigr)$, $\log n\in\mathbb R$). И всё сводится к ряду $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}$, который сходится при $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$.

Всё хорошо, и всё ясно, но для условной сходимости выглядит как-то неубедительно. Тут соображения эквивалентности не работают. Извините.

[RIP]

Не понимаю, в чём проблема. Если исключить из рассмотрения целые неотрицательные точки, то ряд сходится абсолютно лишь при $\mathop{\mathrm{Re}}x>0$: тут и асимптотику никакую не надо выписывать, просто применить признак Гаусса. Значит, в остальных точках, в которых ряд сходится, он сходится условно.
И почему не помогают соображения эквивалентности? Модуль общего члена есть $\sim\frac{C}{n^{\mathop{\mathrm{Re}}x+1}}$, где $C=\frac1{|\Gamma(-x)|}>0$ при $x\notin\mathbb N_0$.

[ewert]

Непонятно, почему этот ряд вообще сходится при ${\rm Re}\,x>-1$. Понятно, что это условие необходимо; но с какой стати оно достаточно?

[RIP]

Он сходится потому, что есть сумма двух сходящихся рядов: ряд из $\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\cdot O\left(\frac1n\right)$ сходится абсолютно при $\mathop{\mathrm{Re}}x>-1$, каково бы ни было O-большое.

[ewert]

RIP писал(а):

Он сходится потому, что есть сумма двух сходящихся рядов: ряд из $\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\cdot O\left(\frac1n\right)$ сходится абсолютно при $\mathop{\mathrm{Re}}x>-1$, каково бы ни было O-большое.

Чего-то до меня совсем ничего не доходит.

Во-первых: о какой сумме речь?

Во-вторых: наверное, не умножить, а как-нить прибавить О-большую?

В-третьих: что значит "какое бы ни было"? -- ведь какая-никакая монотонность, а нужна.

И в-четвёртых: речь же о комплексных рядах.

[RIP]

Общий член нашего ряда равен $\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)=\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}+\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\cdot O\left(\frac1n\right)$. Ряд из $\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\cdot O\left(\frac1n\right)$ сходится абсолютно, поскольку $\left|\frac{(-1)^n}{\Gamma(-x)n^{x+1}}\cdot O\left(\frac1n\right)\right|\leqslant\frac{C}{n^{1+\varepsilon}}$. Или Вам непонятно, почему сходится ряд из $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}$ при $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$?

[ewert]

RIP писал(а):

Или Вам непонятно, почему сходится ряд из $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}$ при $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$?

Предыдущее -- теперь более-менее понятно, а вот последнее -- честно говоря, нет. Я вообще с дзета-функцией плохо знаком. И вообще задачка -- какая-то недеццкая.

[RIP]

Признаки Абеля и Дирихле можно и для комплекных последовательностей сформулировать: просто монотонность заменяется на ограниченность вариации (последовательность комплексных чисел $a_n$ наз. посл. огр. вар., если $\sum_{n=1}^\infty|a_n-a_{n+1}|<\infty$).

ewert писал(а):

И вообще задачка -- какая-то недеццкая.

В задаче, наверное, подразумевалось $x\in\mathbb R$.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

RIP писал(а):

Или Вам непонятно, почему сходится ряд из $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}$ при $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$?

Предыдущее -- теперь более-менее понятно, а вот последнее -- честно говоря, нет.

А разве не по признаку Лейбница?