Теорема Виета

[ILIYA01]

Не могли бы вы мне дать ссылку, где можно найти доказательство теоремы Виета для произвольного многочлена? Если могли бы, то дайте ее пожалуйста.

[Brukvalub]

Вспомните т. Безу и раскройте скобки в произведении

\[ \prod\limits_{i = 1}^n {(x - x_i )} \]

, вот и будет Вам доказательство.

[ILIYA01]

Brukvalub, без индукции здесь не обойтись, так?

[TOTAL]

Сформулируйте утверждение, которое требуется доказать.

[PAV]

Совсем формально индукцией, наверно, проще всего.

[ILIYA01]

Пусть дан многочлен $P_n(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n, a_0\neq 0 , n\geqslant 1, x_1, x_2, ... , x_n -$его корни. Тогда $\forall k \in 1:n \sum\limits_{1\leqslant l_1< l_2...< l_k\leqslant n}x_{l_1}x_{l_2}...x_{l_k} = (-1)^k\frac{a_k}{a_0}$

[Brukvalub]

Вот и определите, какой коэффициент сопровождает моном

\[ x^k \]

после раскрытия скобок в том произведении, которое я Вам указал.

[TOTAL]

ILIYA01 писал(а):

Пусть дан многочлен $P_n(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n, a_0\neq 0 , n\geqslant 1, x_1, x_2, ... , x_n -$его корни. Тогда $\forall k \in 1:n \sum\limits_{1\leqslant l_1< l_2...< l_k\leqslant n}x_{l_1}x_{l_2}...x_{l_k} = (-1)^k\frac{a_k}{a_0}$

А по-моему если просто записать $a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n = a_0\prod\limits_{i = 1}^n {(x - x_i )}$
и сказать, что приравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями справа и слева, получаем
$\forall k \in 1:n \sum\limits_{1\leqslant l_1< l_2...< l_k\leqslant n}x_{l_1}x_{l_2}...x_{l_k} = (-1)^k\frac{a_k}{a_0}$, то это и будет доказательством.

[ILIYA01]

Brukvalub, наверное, коэффициент будет выглядеть как-то так $-a_0x^{k-1} - b_1x^{k-2} - ... - b_{k-1}$
TOTAL, по-моему не очевидно, что, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим требуемое.

[TOTAL]

ILIYA01 писал(а):

TOTAL, по-моему не очевидно, что, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим требуемое.

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ... (x-x_n)$
Смотрите, при перемножении из каждой скобки можно взять или $x$ или $x_i$. Поэтому, скажем, слагаемых с пятой степенью $x^5$ будет $C^5_n$ штук (это всевозможные способы выбрать 5 сомножителей), а из остальных $n-5$ скобок берутся $x_i$. Теперь верите?

[Brukvalub]

ILIYA01 писал(а):

Brukvalub, наверное, коэффициент будет выглядеть как-то так $-a_0x^{k-1} - b_1x^{k-2} - ... - b_{k-1}$

Как числовой коэффициент может зависеть от переменной?

[ILIYA01]

Brukvalub, ой извините. Я невнимательно прочитал Ваш вопрос. Я вроде бы разложил и увидел, что , если приравнять члены при одинаковых степенях с исходным многочленом, то и получается теорема Виета. Но я это сделал для n=3 и n=4. Как это в общем случае формально сделать я не очень понимаю. Хотя, может и понимаю. А зачем здесь теорема Безу?
TOTAL, да, я понял, что Вы имеете в виду.