Эквивалентность в смежных классах

[EminentVictorians]

Пусть $G$ - группа, $H$ - ее подгруппа. Если $H$ - нормальная подгруппа, то выполняется следующее: $(\forall g \in G, \forall h \in H) gh \sim hg$ где эквивалентность понимается относительно левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$. А выполняется ли обратное утверждение? Легко доказать, что из $(\forall g \in G, \forall h \in H) gh \sim hg$ следует, что $Hg \subset gH$ для любого $g \in G$. Весь вопрос в том, будет ли истинно обратное включение.

[iifat]

Как-то странно, когда из симетричного утверждения следует несимметричное, а симметричное ему не следует, не находите? «Если вы, конечно, понимаете, что я хотел сказать» (по-моему, ослик Иа из Винни-Пуха)

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1527835 писал(а):

Как-то странно, когда из симетричного утверждения следует несимметричное, а симметричное ему не следует, не находите?

Симметричное несимметричному? Следует. А именно: из нормальности группы $H$ вытекает, что $(\forall g \in G, \forall h \in H) gh \sim hg$ где эквивалентность понимается относительно правых смежных классов группы. С этим то проблем нету. Проблема в том, будет ли из эквивалентности относительно только левых (или только правых) смежных классов следовать нормальность.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1527837 писал(а):

эквивалентность понимается относительно правых смежных классов группы

Как-как, простите, понимается?
Вообще, только заметил, что ещё за эквивалентность? Там же, помнится, $(\forall g \in G) gH=Hg$.
А, понял. У вас определение несимметричное. Попробуйте через промежуточное: $\forall g\in G,h\in H\ \exists h_1\in H\ gh=h_1g$. Потом попробуйте доказать единственность $h_1$ — и написать (и доказать) симметричное вот этому утверждение.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1527839 писал(а):

Вообще, только заметил, что ещё за эквивалентность?

Будем говорить, что элемент $g_1 \in G$ эквивалентен элементу $g_2 \in G$, если существует $h \in H$ такая, что $g_1h = g_2$. Это отношение эквивалентности, оно порождает разбиение группы $G$ на классы эквивалентности - левые смежные классы группы $G$. Классом эквивалентности элемента $g$ относительно этого отношения является левый смежный класс элемента $g$ по подгруппе $H$.

iifat в сообщении #1527839 писал(а):

А, понял. У вас определение несимметричное.

Не понимаю, определение чего?

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1527841 писал(а):

Будем говорить, что элемент $g_1 \in G$ эквивалентен элементу $g_2 \in G$, если существует $h \in H$ такая, что $g_1h = g_2$. Это отношение эквивалентности, оно порождает разбиение группы $G$ на классы эквивалентности - левые смежные классы группы $G$. Классом эквивалентности элемента $g$ относительно этого отношения является левый смежный класс элемента $g$ по подгруппе $H$.

Эту эквивалентность будем называть левоэквивалентностью и обозначать $g_1\overset{l}{\sim} g_2$. 2 элемента $g_1$ и $g_2$ группы $G$ левоэквивалентны $\Leftrightarrow$ когда они оба принадлежат одному и тому же левому смежному классу группы $G$.

Правоэквивалентность определяем аналогично, только вместо условия "существует $h \in H$ такая, что $g_1h = g_2$" берем условие "существует $h \in H$ такая, что $hg_1 = g_2$".

Это другое отношение эквивалентности. Если 2 элемента левоэквивалентны, то они не обязаны быть правоэквивалентными.

Вопрос возник на фоне чтения вот этого отрывка из Винберга.

Винберг, стр. 182 писал(а):

Теорема 3. Отношение сравнимости по модулю подгруппы $H$ со­гласовано с операцией умножения в группе $G$ тогда и только тогда, когда подгруппа $H$ нормальна.
Доказательство. Согласованность отношения сравнимости по модулю $H$ с операцией умножения означает следующее:

$$g_1 \equiv g_1' (mod H), g_2 \equiv g_2' (mod H) \Rightarrow g_1g_2 \equiv g_1'g_2' (mod H)$$

или, что эквивалентно, для любых $g_1, g_2 \in G$ и $h_1, h_2 \in H$

$$(g_1h_1)(g_2h_2) \equiv g_1g_2 (mod H)$$

Здесь же левоэквивалентность. Т.е. вместо $\equiv$ в моей терминологии было бы $\overset{l}{\sim}$.

Другими словами, здесь речь идет о левосогласованности.

$$g_1 \overset{l}{\sim} g_1', g_2 \overset{l}{\sim} g_2' \Rightarrow g_1g_2 \overset{l}{\sim} g_1'g_2'$$

Я согласен с тем, что из нормальности подгруппы вытекает и левосогласованность, и правосогласованность. Но у Винберга в цитате только левосогласованность. И она якобы равносильна нормальности подгруппы $H$.

Вот если бы Винберг обозначил, что под согласованностью отношения сравнимости с операцией он понимает одновременно 2 утверждения (левосогласованность и правосогласованность), а не одно (левосогласованность), то тогда равносильность с нормальностью подгруппы точно была бы. Но мне совсем не очевидно, что эта равносильность вытекает из одной только левосогласованности.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1527834 писал(а):

следует, что $Hg \subset gH$

На самом деле, следует $Hg\subseteq gH$, поскольку равенство не противоречит. Ну, посмотрите внимательнее на элемент $s$, который входит в $sH-Hs$...

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1527933 писал(а):

Ну, посмотрите внимательнее на элемент $s$, который входит в $sH-Hs$...

На элемент $s$ который входит в $gH-Hg$? Ничего не могу про него сказать.

[iifat]

Да, похоже, я зря исправил. Подсказываю: если он не входит в класс $Hg$, значит, он входит в какой-то другой правый класс. По-моему, из этого может что-то выйти.

[EminentVictorians]

iifat, я честно говоря уже устал ходить вокруг этой задачи. Если у Вас есть решение, не могли бы Вы его сюда выложить?