Теорема Гаусса о кривизне двумерной поверхности

[misha.physics]

Здравствуйте.
Не получается получить формулу Гаусса как это делается в книге "Позняк, Шикин, Дифференциальная геометрия: первое знакомство". Рассматриваем разложение

$$0=(\mathbf r_{uu})_v-(\mathbf r_{uv})_u=\beta_{11}\mathbf r_u+\beta_{12}\mathbf r_v+\beta_{13}\mathbf n$$

Далее имеем

$$\beta_{11}=(\Gamma^1_{11})_v-(\Gamma^1_{12})_u+\Gamma^2_{11}\Gamma^1_{22}-\Gamma^2_{12}\Gamma^1_{12}+\alpha_{21}L-\alpha_{11}M\qquad(*)$$

Уравнение $\beta_{11}=0$ должно дать теорему Гаусса

$$\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\frac{1}{4W^2}\begin{vmatrix} E&E_u&E_v\\ F&F_u&F_v\\ G&G_u&G_v \end{vmatrix}-\frac{1}{2\sqrt{W}}\left(\frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v-F_u}{\sqrt{W}}-\frac{\partial}{\partial u}\frac{F_v-G_u}{\sqrt{W}}\right)$$

Здесь $W=EG-F^2$. Я выражал $\beta_{11}$ через коэффициенты первой квадратичной формы $E,F,G$, их первые и вторые производные, а также через коэффициенты второй квадратичной формы $L,M,N$, но уравнение $\beta_{11}=0$ к вышеприведённой теореме Гаусса не привело. Чтобы не расписывать всё полностью, посмотрим, какие выражения, содержащие только коэффициенты первой квадратичной формы и их производные получаются при коэффициенте $\displaystyle\frac{1}{W}$. Поскольку символы Кристоффеля устроены как $\displaystyle\frac{1}{W}$ умноженное на сумму произведений коэффициента первой квадратичной формы на первую производную от коэффициента первой квадратичной формы, то достаточно рассмотреть только первые два слагаемые в $\beta_{11}$, имеем

$$\Gamma^1_{11}=\frac{1}{W}\left(\frac{1}{2}E_uG-F_uF+\frac{1}{2}E_vF\right)\qquad \Gamma^1_{12}=\frac{1}{W}\left(\frac{1}{2}E_vG-\frac{1}{2}G_uF\right)\qquad(**)$$

Тогда выражение $\beta_{11}$, содержащее $\displaystyle\frac{1}{W}$ у меня получается такое

$$\frac{F}{2W}(E_{vv}-2F_{uv}+G_{uu})+\frac{1}{W}\left(\frac{1}{2}E_uG_v+\frac{1}{2}E_vF_v+\frac{1}{2}G_uF_u-\frac{1}{2}E_vG_u-F_uF_v\right)\qquad(***)$$

А в теореме Гаусса выражение, содержащее $\displaystyle\frac{1}{W}$ получается таким

$$\frac{1}{2W}(E_{vv}-2F_{uv}+G_{uu})$$

То есть, вторая скобка в выражении $(***)$ получается лишней.

Выражения $(*)$ и $(**)$, я проверял, у меня получились такие же. Также я посмотрел книгу "Погорелов. Дифференциальная геометрия", там теорема Гаусса записывается так же само.

[misha.physics]

Разобрался, получилось. Мой предварительный грубый анализ оказался неправильным.

[misha.physics]

Мне бы хотелось понять здесь ещё одну вещь. Изначально из уравнения $\beta_{11}=0$ я получил не саму теорему Гаусса:

misha.physics в сообщении #1527792 писал(а):

$$\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\frac{1}{4W^2}\begin{vmatrix} E&E_u&E_v\\ F&F_u&F_v\\ G&G_u&G_v \end{vmatrix}-\frac{1}{2\sqrt{W}}\left(\frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v-F_u}{\sqrt{W}}-\frac{\partial}{\partial u}\frac{F_v-G_u}{\sqrt{W}}\right),$$

а умноженную её на коэффициент $F$ (каждое слагаемое умноженное на $F$). Если он не равен нулю, то на него можно сократить и получить теорему Гаусса в вышеприведённом виде, но можно ли как-то доказать, что эта теорема верна также в случае $F=0$? Я убедился на примере двумерной сферы, где $F=0$, что эта теорема верна, но хотелось бы какого-то более общего обоснования.