2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Гаусса о кривизне двумерной поверхности
Сообщение01.08.2021, 02:13 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте.
Не получается получить формулу Гаусса как это делается в книге "Позняк, Шикин, Дифференциальная геометрия: первое знакомство". Рассматриваем разложение $$0=(\mathbf r_{uu})_v-(\mathbf r_{uv})_u=\beta_{11}\mathbf r_u+\beta_{12}\mathbf r_v+\beta_{13}\mathbf n$$
Далее имеем
$$\beta_{11}=(\Gamma^1_{11})_v-(\Gamma^1_{12})_u+\Gamma^2_{11}\Gamma^1_{22}-\Gamma^2_{12}\Gamma^1_{12}+\alpha_{21}L-\alpha_{11}M\qquad(*)$$
Уравнение $\beta_{11}=0$ должно дать теорему Гаусса
$$\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\frac{1}{4W^2}\begin{vmatrix}
E&E_u&E_v\\
F&F_u&F_v\\
G&G_u&G_v
\end{vmatrix}-\frac{1}{2\sqrt{W}}\left(\frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v-F_u}{\sqrt{W}}-\frac{\partial}{\partial u}\frac{F_v-G_u}{\sqrt{W}}\right)$$
Здесь $W=EG-F^2$. Я выражал $\beta_{11}$ через коэффициенты первой квадратичной формы $E,F,G$, их первые и вторые производные, а также через коэффициенты второй квадратичной формы $L,M,N$, но уравнение $\beta_{11}=0$ к вышеприведённой теореме Гаусса не привело. Чтобы не расписывать всё полностью, посмотрим, какие выражения, содержащие только коэффициенты первой квадратичной формы и их производные получаются при коэффициенте $\displaystyle\frac{1}{W}$. Поскольку символы Кристоффеля устроены как $\displaystyle\frac{1}{W}$ умноженное на сумму произведений коэффициента первой квадратичной формы на первую производную от коэффициента первой квадратичной формы, то достаточно рассмотреть только первые два слагаемые в $\beta_{11}$, имеем
$$\Gamma^1_{11}=\frac{1}{W}\left(\frac{1}{2}E_uG-F_uF+\frac{1}{2}E_vF\right)\qquad \Gamma^1_{12}=\frac{1}{W}\left(\frac{1}{2}E_vG-\frac{1}{2}G_uF\right)\qquad(**)$$
Тогда выражение $\beta_{11}$, содержащее $\displaystyle\frac{1}{W}$ у меня получается такое
$$\frac{F}{2W}(E_{vv}-2F_{uv}+G_{uu})+\frac{1}{W}\left(\frac{1}{2}E_uG_v+\frac{1}{2}E_vF_v+\frac{1}{2}G_uF_u-\frac{1}{2}E_vG_u-F_uF_v\right)\qquad(***)$$
А в теореме Гаусса выражение, содержащее $\displaystyle\frac{1}{W}$ получается таким
$$\frac{1}{2W}(E_{vv}-2F_{uv}+G_{uu})$$
То есть, вторая скобка в выражении $(***)$ получается лишней.

Выражения $(*)$ и $(**)$, я проверял, у меня получились такие же. Также я посмотрел книгу "Погорелов. Дифференциальная геометрия", там теорема Гаусса записывается так же само.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Гаусса о кривизне двумерной поверхности
Сообщение22.08.2021, 17:25 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Разобрался, получилось. Мой предварительный грубый анализ оказался неправильным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Гаусса о кривизне двумерной поверхности
Сообщение23.08.2021, 17:29 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Мне бы хотелось понять здесь ещё одну вещь. Изначально из уравнения $\beta_{11}=0$ я получил не саму теорему Гаусса:
misha.physics в сообщении #1527792 писал(а):
$$\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\frac{1}{4W^2}\begin{vmatrix}
E&E_u&E_v\\
F&F_u&F_v\\
G&G_u&G_v
\end{vmatrix}-\frac{1}{2\sqrt{W}}\left(\frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v-F_u}{\sqrt{W}}-\frac{\partial}{\partial u}\frac{F_v-G_u}{\sqrt{W}}\right),$$

а умноженную её на коэффициент $F$ (каждое слагаемое умноженное на $F$). Если он не равен нулю, то на него можно сократить и получить теорему Гаусса в вышеприведённом виде, но можно ли как-то доказать, что эта теорема верна также в случае $F=0$? Я убедился на примере двумерной сферы, где $F=0$, что эта теорема верна, но хотелось бы какого-то более общего обоснования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group