Последовательность Майера-Вьеториса

[GYNJ]

Дано пространство полученное приклеиванием к тору ленты Мебиуса посредство гомеоморфизма на окружность $S^{1}\times{x_{0}}$ в торе. Нужно найти группы гомологий полученного пр-ва.

Понятно что это пространство (X)представляется как объединение двух пространств: A-тор, B- лента Мебиуса, тогда их пересечением будет $S^{1}$

Сама последовательность: $...\to H_{n}(S^{1}) \to H_{n}(A)\oplus H_{n}(B) \to H_{n}(X) \to H_{n-1}(S^{1}) \to... $
С нулевыми и 3+гомологиями все ясно, интересуют первые и вторые:
$...\to H_{2}(S^{1}) \to H_{2}(A)\oplus H_{2}(B) \to H_{2}(X) \to H_{1}(S^{1}) \to H_{1}(A)\oplus H_{1}(B) \to H_{1}(X) \to...$

$...\to 0 \to \mathbb{Z} \to H_{2}(X) \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3 \to H_{1}(X) \to \mathbb{Z} \to...$
И вот что делать дальше я не знаю(именно как посчитать). Может, допустим гомоморфизм $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3$
такой, что $(1) \to (2,2,2)$, т.к граница ленты Мебиуса дважды наматывается на центральную окружность- не знаю как продолжить

[GYNJ]

Может быть, если я верно написал про f, то тогда ясно что оно инъективно и $Kerf=0$, а тогда образ отображения $g: H_{2}(X) \to \mathbb{Z}$ должен быть нулем. Но $Ker g=Im h, h: 0 \to \mathbb{Z}$. Т.е образ нулевой, значит отображение g просто нулевое и стало быть группа $H_{2}(X)=0$??? Но тогда странно получается ведь у тора ненулевая вторая группа гомологий. Но даже если эту гомологию, каким то чудом, я посчитал верно, то как вычислить первую мне не ясно.