измеримость функции, имеющей конечное число точек разрыва

[Gonky]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста.
Пусть f(x) определена на $\mathbb R$ и имеет конечное число точек разрыва. Установить ее измеримость по Лебегу.

Свои мысли:
Пусть существует только одна точка разрыва. Тогда множество $\mathbb R$ разбивается на три $A_1$+{b}+$A_2$. На $A_1$ и $A_2$ функция непрерывна, следовательно, измерима.
А вот что делать с точкой разрыва, незнаю. Может попробовать взять отрезок [$b-\frac1n$,$b+\frac1n$] и дальше как нибудь установить открытость этого множества?

[Spook]

Gonky по моему можно просто воспользоваться тем, что получилось конечное число непрерывных функций, каждая из которых измерима. Вот если бы функция могла бы быть не определена в некоторых точка разрыва (или стремилась к бесконечности) тогда интеграл Лебега от нее может и не существовать, в то время как несобственный интеграл Римана может бвть и определен.

[Таня Тайс]

Gonky писал(а):

Может попробовать взять отрезок [$b-\frac1n$,$b+\frac1n$] и дальше как нибудь установить открытость этого множества?

С каких это пор отрезок вида

$$[a,b]$$

стал открытым в

$$\mathbb{R}$$

множеством?

Когда у нас была эта тема, мы пользовались след. определением :
Функция

$$ f \colon X \to Y$$

измерима, если

$$ f^{-1}(U)$$

измеримо

$$ \forall U\subset Y, \; U$$

- открыто.

[Gonky]

уже разобрался в задаче. Воспользовался определением сходящейся почти всюду последовательности, а потом тем, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду к функции, то эта функция измерима. Вроде так)

[Echo-Off]

Spook писал(а):

тогда интеграл Лебега от нее может и не существовать, в то время как несобственный интеграл Римана может бвть и определен

Причём здесь интегрируемость? В задаче просто измеримость надо проверить

[AD]

А у меня первая мысль - С-свойством ...

[RIP]

Имхо, проще всего по определению (конечно, через C-свойство Лузина проще, но про него не все знают).

[Профессор Снэйп]

1) Сумма и произведение измеримых функций --- измеримые функции.

2) При $a < b$ функции

$$ \chi_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1, &x \in (a,b) \\ 0, &x \not\in (a,b) \end{cases} $$

и

$$ \delta_a(x) = \begin{cases} 1, &x=a \\ 0, &x \neq a \end{cases} $$

измеримы.

3) Каждая непрерывная функция измерима.

4) Любую функцию с конечным числом точек разрыва можно получить из непрерывной функции и функций, описанных в пункте 2, при помощи сложений и умножений.

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

Тьфу, блин, это верно только для функций, имеющих конечные пределы слева и справа в любой точке. Но всё равно задача простая

Добавлено спустя 13 минут 36 секунд:

Надо так.

1) Сумма измеримых функций --- измеримая функция.

2) Для непрерывной функции $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ функция

$$ g(x) = \begin{cases} f(x), &x \in (a,b) \\ 0, &x \not\in (a,b) \end{cases} $$

измерима (здесь $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$).

3) Функция

$$ \delta_a^C(x) = \begin{cases} C, &x=a \\ 0, &x \neq a \end{cases} $$

измерима при всех $a,C \in \mathbb{R}$.