Подсчёт графов с ровно одной вершиной степени N-1

[ioleg19029700]

Пусть граф называется простым, если в нём нет петель и кратных рёбер. Пусть простой неориентированный граф называется хорошим, если в нём ровно у одной вершины степень равна $N-1$, то есть в графе есть только одна вершина, соединённая со всеми остальными ребром. По данному числу $N$, нужно посчитать количество хороших графов на $N$ вершинах. Два графа называются различными, если существует пара вершин $(u,v)$ такая, что в одном графе есть ребро $(u,v) \in E$, а в другом нет.

Сначала можем $N$ способами выбрать некоторую вершину, из которой проведём $N-1$ рёбер в оставшиеся вершины. На оставшихся вершинах существует $2^{C_{n-1}^2}$ графов. Но из них надо вычесть те, в которых есть как минимум одна вершина степени $N-2$, потому что тогда при соединении такой вершины с выбранной исходной вершиной в итоговом графе на $N$ вершинах будет несколько вершин степени $N-1$. Я не могу понять как вычислить эту поправку? А может, как это часто бывает в задачах про графы, есть какой-то рекурентный подход?