2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображения, категории Бэра
Сообщение15.07.2021, 10:46 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Цитата:
Let $X$ be a topological space and let $Y$ denote a Hausdorff topological space with a countable base. We do not impose any conditions on a mapping $f:X\to Y$.
Recall that a set $A\subset X$ is of the first Baire category if it is contained in a countable union of closed sets and everyone of these sets has empty interior. Other subsets of $X$ have the second Baire category.
Let $\mathcal F\subset 2^X$ stand for a family of the first Baire category sets.

Theorem. There exists a set $E_0\in\mathcal  F$ such that
$$\bigcap_{E\in\mathcal  F}\overline {f(X\backslash E)}=\overline {f(X\backslash E_0)}.$$


задача: доказать теорему

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения, категории Бэра
Сообщение17.07.2021, 08:01 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
По-моему, есть лишние условия. От пространства $Y$ требуется только счётность базы (хаусдорфость не нужна), а от семейства $\mathcal F$ -- замкнутость относительно счётных объединений.

Пусть $\mathscr B$ -- счётная база пространства $Y$. Обозначим искомое множество $M=\bigcap\limits_{E\in\mathcal  F}\overline {f(X\backslash E)}$. Это замкнутое множество в $Y$. Для любой точки $y\in Y\setminus M$ найдутся множество $E(y)\in\mathcal F$ и элемент базы $U(y)\in\mathscr B$ такие, что $y\in U(y)$ и $U(y)\cap f(X\setminus E(y))=\varnothing$. Пусть $\{U_n\}$ -- все выбранные таким образом элементы базы $\mathscr B$ (конечное или счётное число). Для каждого $n$ выберем множество $E_n\in\mathcal F$ такое, что $f(X\setminus E_n)\cap U_n=\varnothing$. Тогда множество $E_0=\bigcup\limits_n E_n$ будет принадлежать семейству $\mathcal F$ и для него выполнено
$$
f(X\setminus E_0)=f\left(\bigcap\limits_n (X\setminus E_n)\right)\subset \bigcap_n f(X\setminus E_n)\subset M, 
$$
и так как $M$ замкнуто, то $\overline{f(X\setminus E_0)}\subset M$. Обратное включение $M\subset \overline{f(X\setminus E_0)}$ очевидно по определению множества $M$. Значит, $M=\overline{f(X\setminus E_0)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения, категории Бэра
Сообщение17.07.2021, 12:22 


05/02/21
143
Досадно, что нельзя просто взять $E_0 = \bigcup\limits_{E\in \mathcal F} E$ в том или ином смысле :D
Padawan в сообщении #1526390 писал(а):
Для каждого $n$ выберем множество $E_n\in\mathcal F$ такое, что $E_n\cap U_n=\varnothing.$

Тут имеется ввиду $f(X\setminus E_n)\cap U_n=\varnothing$ ? Так-то множество из класса $\mathcal F$ не может пересекаться с множеством из $Y...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения, категории Бэра
Сообщение17.07.2021, 12:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Mirage_Pick в сообщении #1526398 писал(а):
Тут имеется ввиду $f(X\setminus E_n)\cap U_n=\varnothing$ ?


Да. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group