Отображения, категории Бэра

[pogulyat_vyshel]

Цитата:

Let $X$ be a topological space and let $Y$ denote a Hausdorff topological space with a countable base. We do not impose any conditions on a mapping $f:X\to Y$.
Recall that a set $A\subset X$ is of the first Baire category if it is contained in a countable union of closed sets and everyone of these sets has empty interior. Other subsets of $X$ have the second Baire category.
Let $\mathcal F\subset 2^X$ stand for a family of the first Baire category sets.

Theorem. There exists a set $E_0\in\mathcal F$ such that

$$\bigcap_{E\in\mathcal F}\overline {f(X\backslash E)}=\overline {f(X\backslash E_0)}.$$

задача: доказать теорему

[Padawan]

По-моему, есть лишние условия. От пространства $Y$ требуется только счётность базы (хаусдорфость не нужна), а от семейства $\mathcal F$ -- замкнутость относительно счётных объединений.

Пусть $\mathscr B$ -- счётная база пространства $Y$. Обозначим искомое множество $M=\bigcap\limits_{E\in\mathcal F}\overline {f(X\backslash E)}$. Это замкнутое множество в $Y$. Для любой точки $y\in Y\setminus M$ найдутся множество $E(y)\in\mathcal F$ и элемент базы $U(y)\in\mathscr B$ такие, что $y\in U(y)$ и $U(y)\cap f(X\setminus E(y))=\varnothing$. Пусть $\{U_n\}$ -- все выбранные таким образом элементы базы $\mathscr B$ (конечное или счётное число). Для каждого $n$ выберем множество $E_n\in\mathcal F$ такое, что $f(X\setminus E_n)\cap U_n=\varnothing$. Тогда множество $E_0=\bigcup\limits_n E_n$ будет принадлежать семейству $\mathcal F$ и для него выполнено

$$ f(X\setminus E_0)=f\left(\bigcap\limits_n (X\setminus E_n)\right)\subset \bigcap_n f(X\setminus E_n)\subset M, $$

и так как $M$ замкнуто, то $\overline{f(X\setminus E_0)}\subset M$. Обратное включение $M\subset \overline{f(X\setminus E_0)}$ очевидно по определению множества $M$. Значит, $M=\overline{f(X\setminus E_0)}$.

[Mirage_Pick]

Досадно, что нельзя просто взять $E_0 = \bigcup\limits_{E\in \mathcal F} E$ в том или ином смысле

Padawan в сообщении #1526390 писал(а):

Для каждого $n$ выберем множество $E_n\in\mathcal F$ такое, что $E_n\cap U_n=\varnothing.$

Тут имеется ввиду $f(X\setminus E_n)\cap U_n=\varnothing$ ? Так-то множество из класса $\mathcal F$ не может пересекаться с множеством из $Y...$

[Padawan]

Mirage_Pick в сообщении #1526398 писал(а):

Тут имеется ввиду $f(X\setminus E_n)\cap U_n=\varnothing$ ?

Да. Спасибо.