Найти гомеоморфизм если он существует.

[yovska]

Даны два пространства $(\mathbb N, T), \ (\mathbb N, T')$, где $T$ есть $\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5, 6\}, \{7, 8\}, \ldots$ и все их объединения, а $T'$ - это $\{1, 3\}, \{2, 4\}, \{5, 7\}, \{6, 8\}, \{9, 11\}, \{10, 12\}, \ldots$ i все их объединения.

Мне кажется след. функция сработает(ее можно прочесть прямо с данных топологий):

f(x) = \begin{cases}{x \text{ if }x = 4q \text{ or } x = 4q + 1 \text{ for some } q \in \mathbb N \\ x + 1 \text{ if } x =4q + 2 \text{ for some } q \in \mathbb N \\ x - 1 \text{ if } x = 4q + 3 \text{ for some } q \in \mathbb N}\end{cases}

Для начала,

пусть $O \in T'$. Имеем $f(x) \in O \implies x \in f^{-1}(O)$. Все элементы $f^{-1}(O)$ вида $4q, 4q + 1, 4q + 2, 4q +3$. Как показать $f^{-1}(O) \in T$?

Может есть более очевидное решение?

[mihaild]

У вас топологии заданы базами. Чтобы доказать непрерывность, достаточно показать, что прообраз элемента из базы открыт.
Ну и поскольку $f$ отправляет $i$-й элемент базы $T$ в $i$-й элемент базы $T'$ (проверьте!), а базы что у $T$ что у $T'$ выбраны из попарно непересекающихся элементов, то доказывается это несложно.

[yovska]

mihaild

Эта задача из главы 3 учебника привед. ниже. Единственное упражнение, которое не удается расколоть вообще. Определение термину "база" дается только в главе 5. Она так и называется - "Base and product".

Но пока совершенно не ясно, что тут нужно делать. Не могли бы вы прокомментировать поподробнее?

Undergraduate Topology: A Working Textbook by Aisling McCluskey, Brian McMaster

[mihaild]

База - это такое семейство открытых множеств, что любое открытое множество представляется в виде объединения элементов из базы.
Докажите следующее утверждение: если $f$ - отображение из какого-то топологического пространства в $(\mathbb N, T)$, причем $f^{-1}(\{2k + 1, 2k + 2\})$ открыто для любого $k$, то $f$ непрерывно.

[tolstopuz]

Прообраз объединения равен объединению прообразов.

[yovska]

Если $f: (\mathbb N, T') \to (\mathbb N, T), \{2k + 1, 2k + 2\} \in T$, тогда $f^{-1}(\{2k + 1, 2k + 2\}) \in T' \implies \cup f^{-1}(\{2k + 1, 2k + 2\}) \in T'$, где $\cup$ - любое обьединение.

Откуда мы знаем $f^{-1}(\{2k + 1, 2k + 2\}) \in T'$? Из заданной топологий? Также под $f$ подразумевается функция заданная в открывающем посте?

[mihaild]

yovska в сообщении #1526113 писал(а):

Откуда мы знаем $f^{-1}(\{2k + 1, 2k + 2\}) \in T'$? Из заданной топологий?

Мы можем явно выписать $f^{-1}$ и проверить, что прообраз попадает в топологию.

yovska в сообщении #1526113 писал(а):

Также под $f$ подразумевается функция заданная в открывающем посте?

Вы же доказываете, что непрерывна некоторая конкретная $f$, вот для неё и надо всё проверять.