Задание топологии в cчетно-нормированным пространстве

[Ivan_B]

Колмогоров, Фомин. 4-e изд. стр. 89 писал(а):

... каково бы ни было открытое множество $G$, содержащее точку $x$, найдется окрестность из системы $\mathfrak U$, целиком лежащая в $G$. Такая система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки $x$.

Получается, чтобы говорить об определяющей системе окрестностей, нужно чтобы была задана топология, иначе откуда брать открытые множества?

Колмогоров, Фомин. 4-e изд. стр. 171 писал(а):

Определение 3. Счетно-нормированным пространством называется линейное пространство $E$, в котором задана счетная система попарно согласованных норм $\|\cdot\|_n$.
Всякое счетно-нормированное пространство становится линейным топологическим, если за определяющую систему окрестностей нуля принять...

Это какбы не согласуется с предыдущим определением.
Я это понял как то, что нужно задать такую топологию, что заданная систма множеств станет определяющей системой окрестностей нуля.

Колмогоров, Фомин. 4-e изд. стр. 171 писал(а):

Мы предоставляем читателю проверить, что такая система окрестностей нуля действительно определяет в $E$ топологию, в которой операции сложения элементов и умножения их на числа непрерывны.

Подскажите, пожалуйста, исходя из чего и что нужно доказать?
(непрерывность нужно доказать?)

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1525714 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, исходя из чего и что нужно доказать?

1) существует топология, для которой указанная система множеств является определяющей системой окрестностей нуля;
2) в этой топологии сложение и умножение на скаляр непрерывны

[мат-ламер]

Ivan_B в сообщении #1525714 писал(а):

Получается, чтобы говорить об определяющей системе окрестностей, нужно чтобы была задана топология, иначе откуда брать открытые множества?

Я не думаю. Вполне можно начать с задания определяющей системы окрестностей. У Колмогорова-Фомина тут небольшой пропуск. Но я чего-то этот момент и в других книгах сейчас не нашёл. Допустим, у нас есть система множеств, которая удовлетворяет некоторым аксиомам (продумайте, каким?), и которую мы называем определяющей системой окрестностей (некоторых точек). (Иногда её называют по-другому). Тогда по этой системе мы восстановим систему окрестностей этих точек. А по ней уже всю топологию.

[demolishka]

Я когда-то тоже застрял на этом моменте у К-Ф. Вот даже тема была. По воспоминаниям: для счётно-нормированных пространств все действительно получается, но в общем случае, что нужно требовать от семейства окрестностей, чтобы оно однозначно определяло ТВП - было не очевидно.

[Ivan_B]

Спасибо Вам всем огромное за подсказки. Мне кажется, что у меня получилось, но...
После того как я прочел следующее, я вообще ни в чем не уверен:

Someone в сообщении #1525013 писал(а):

Тут возникает парадоксальная ситуация, когда мы можем доказать утверждение отдельно для каждого натурального $m$, но не можем доказать его сразу для всех натуральных $m$.

Разбираться с этим сейчас я не планировал, да и не уверен, что смог бы.

Но решил написать то, что у меня получилось, вдруг совсем все неправильно...

мат-ламер в сообщении #1525718 писал(а):

Тогда по этой системе мы восстановим систему окрестностей этих точек. А по ней уже всю топологию.

Множества по которым восстанавливается топология - база.

demolishka в сообщении #1040552 писал(а):

Достаточно проверить, что если $V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$ - окрестность нуля и $x \in V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$, то окрестность $x + V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$ точки $x$ содержит окрестность нуля вида $V_{\delta,i_1,\ldots,i_n}$, где $\delta = \varepsilon - \max_{1\leq k \leq n}p_{i_k}(x)$.

Как использовать сдвиг окрестности именно на точку, которая ей принадлежит, я додуматься не смог, поэтому решил попробовать сдвиги без ограничений.

mihaild в сообщении #1525715 писал(а):

1) существует топология, для которой указанная система множеств является определяющей системой окрестностей нуля;

Пробую взять все окрестности, которые даны, посдвигать их на все точки, которые есть и доказать:
- что это база и
- что любая новая окрестность нуля содержит одно из системы исходных множеств(которая должна остаться определяющей системой окрестностей нуля)

Если бы получилось по заданной окрестности $X_i$ точки $x_i$ и точке $x_0 \in X_i$, строить окрестность $X_0$ точки $x_0$, такую что $X_0 \subset X_i$, то дальше все можно было бы сделать как с открытыми шарами в метрическом пространстве: по всем $X_i$ радиус $X_0$ выбирать минимальным, количество норм - максимальным.
Обозначу норму, которая имеет значение большее или равное значению других норм(из числа использованных для построения окрестности) в заданной точке $x$ как $\|\cdot\|_x$
Пусть радиус $X_i$ равен $\varepsilon$, $\Delta x_0 = x_0-x_i$. Выберу радиус $X_0$ равным $\delta = \varepsilon - \|\Delta x_0\|_{\Delta x_0}$. Пусть $x \in X_0$, $\Delta x = x-x_0$, проверю его на принадлежность $X_i$:
$\|\Delta x_0 + \Delta x\|_{\Delta x_0 + \Delta x} \leqslant \|\Delta x_0\|_{\Delta x_0 + \Delta x} + \|\Delta x\|_{\Delta x_0 + \Delta x}$ $\leqslant \|\Delta x_0\|_{\Delta x_0} + \|\Delta x\|_{\Delta x}\leqslant \|\Delta x_0\|_{\Delta x_0} + \delta = \varepsilon$

Каждая точка содержится в шаре. Каждая точка пересечения шаров содержится в шаре, который принадлежит пересечению, значит это база.

mihaild в сообщении #1525715 писал(а):

2) в этой топологии сложение и умножение на скаляр непрерывны

Непрерывность умножения сразу получается из однородности: искомая окрестность получается умножением радиуса исходной.
Непрерывность сложения. Складываю $x+\Delta x$ и $y+\Delta y$ если окрестность $x+y$ имеет радиус $\varepsilon$, то взяв радиус окрестностей $x$ и $y$ равным $\varepsilon/2$ получаю
$\|\Delta x + \Delta y\|_{\Delta x + \Delta y} \leqslant \|\Delta x\|_{\Delta x + \Delta y} +\|\Delta y\|_{\Delta x + \Delta y}$ $ \leqslant \|\Delta x\|_{\Delta x} +\|\Delta y\|_{\Delta y} \leqslant \varepsilon$

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1525966 писал(а):

Множества по которым восстанавливается топология - база

Не строго, и по смыслу неверно. База - она сразу для всего пространства. А у нас окрестности только каких-то отдельных точек. Но поскольку пространство не только топологическое, но и векторное, то по окрестностям одной точки можно найти окрестности других. В произвольном топологическом пространстве это неверно.

Ivan_B в сообщении #1525966 писал(а):

Обозначу норму, которая имеет значение большее или равное значению других норм(из числа использованных для построения окрестности) в заданной точке $x$ как $\|\cdot\|_x$

Неудачное обозначение. В точке никакая окрестность не написана. Если уж хотите это писать - то пишите саму окрестность, а не точку. Из-за этого запись

Ivan_B в сообщении #1525966 писал(а):

$\|\Delta x + \Delta y\|_{\Delta x + \Delta y} \leqslant \|\Delta x\|_{\Delta x + \Delta y} +\|\Delta y\|_{\Delta x + \Delta y}$ $ \leqslant \|\Delta x\|_{\Delta x} +\|\Delta y\|_{\Delta y} \leqslant \varepsilon$

не читается - непонятно, где о каких нормах идет речь.

[demolishka]

Ivan_B в сообщении #1525966 писал(а):

Как использовать сдвиг окрестности именно на точку, которая ей принадлежит, я додуматься не смог, поэтому решил попробовать сдвиги без ограничений.

Ну смотрите. Вот мы начали выполнять Ваш план

Ivan_B в сообщении #1525966 писал(а):

Пробую взять все окрестности, которые даны, посдвигать их на все точки, которые есть и доказать:
- что это база

Естественно потребовать какие-то свойства от исходной системы окрестностей, чтобы после сдвигов действительно были выполнены свойства базы (пока от ТВП мы берем только то, что сдвиги окрестностей системы также обязаны быть открытыми множествами). В общем случае (когда окрестности задаются абы как) не совсем понятно, чего требовать. Ну давайте разберемся с окрестностями нуля в счетно-нормированном пространстве. Вот есть произвольные точки $x,y$ пространства и окрестности нуля $V_{\varepsilon_{1},i_{1},\ldots,i_{n}}(0)$ и $V_{\varepsilon_{2},j_{1},\ldots,j_{m}}(0)$, которые при сдвигах на $x$ и $y$ соответственно имеют не пустое пересечение. Для проверки критерия базы необходимо проверить, что существует $z$ и окрестность нуля $V_{\delta,l_{1},\ldots,l_{k}}(0)$ такие, что

$$(x+V_{\varepsilon_{1},i_{1},\ldots,i_{n}}(0))\cap (y+V_{\varepsilon_{2},j_{1},\ldots,j_{m}}(0)) \supset z+V_{\delta,l_{1},\ldots,l_{k}}(0).$$

Рисуем картинку (в оффтопе)

(Оффтоп)

Пусть $z$ - любая точка из пересечения сдвигов окрестностей. Тогда по определению $x-z \in V_{\varepsilon_{1},i_{1},\ldots,i_{n}}(0)$ и $y-z \in V_{\varepsilon_{2},j_{1},\ldots,j_{m}}(0)$ (здесь неявно использована симметричность окрестностей). Предположим, что мы доказали, что найдутся $\delta_{1}, \delta_{2}$ такие, что
$x-z+V_{\varepsilon_{1},i_{1},\ldots,i_{n}}(0) \supset V_{\delta_{1},i_{1},\ldots,i_{n}}(0)$ и $y-z+V_{\varepsilon_{2},j_{1},\ldots,j_{m}}(0) \supset V_{\delta_{2},j_{1},\ldots,j_{m}}(0)$. Тогда пересечение этих сдвинутых окрестностей очевидно содержит окрестность нуля $V_{\delta,i_{1},\ldots,i_{n},j_{1},\ldots,j_{m}}(0)$, где $\delta = \min \{ \delta_{1},\delta_{2} \}$. Её сдвиг на $z$ даёт искомую окрестность в пересечении.

Можно подытожить так. Если исходная система окрестностей $\{ V_{\alpha} \} $ обладает свойствами:
1. Для любых $\alpha, \beta$ найдётся $\gamma$ такой, что $V_{\alpha} \cap V_{\beta} \supset V_{\gamma}$;
2. Для любого $\alpha$ и $x \in V_{\alpha}$ найдётся $\beta$ такой, что $-x+V_{\alpha} \supset V_{\beta}$ (минус поставлен, чтобы не требовать симметричности),
то существует единственная топология, для которой сдвиги $V_{\alpha} + x$ по всем $\alpha$ и $x$ образуют базу. Но этих свойств еще недостаточно для ТВП. Предлагаю Вам самостоятельно разобраться, чего еще надо потребовать от системы окрестностей, чтобы операции $(x,y) \mapsto x+y$ и $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ были непрерывными.

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1525975 писал(а):

не читается - непонятно, где о каких нормах идет речь.

Доказывал я непрерывность.
По заданной окрестности $V_{\varepsilon, i_1,\dots, i_n}(x+y)$ нужно указать некоторые окрестности $V_{\varepsilon_1, j_1,\dots, j_m}(x)$ и $V_{\varepsilon_2, k_1,\dots, k_l}(y)$, что $V_{\varepsilon_1, j_1,\dots, j_m}(x)+V_{\varepsilon_2, k_1,\dots, k_l}(y)\subset V_{\varepsilon, i_1,\dots, i_n}(x+y)$
Доказываю, что в качастве искомых окрестностей можно взять $V_{\varepsilon/2, i_1,\dots, i_n}(x)$ и $V_{\varepsilon/2, i_1,\dots, i_n}(y)$
Пусть $x+\Delta x \in V_{\varepsilon/2, i_1,\dots, i_n}(x)$ и $y+\Delta y \in V_{\varepsilon/2, i_1,\dots, i_n}(y)$, докажем что $x+\Delta x + y+\Delta y \in V_{\varepsilon, i_1,\dots, i_n}(x+y)$
Среди норм $\|\cdot\|_{i_1},\dots, \|\cdot\|_{i_n}$ выберем ту, которая имеет наибольшее значение для $\Delta x$, обозначим ее номер $i$, при этом $\|\Delta x\|_i<\varepsilon/2$ в силу выбора $\Delta x$
Тоже самое сделаем для $\Delta y$: $\|\Delta y\|_j < \varepsilon/2$, в силу выбора $\Delta y$.
Тоже самое сделаем для $\Delta x + \Delta y$, обозначим номер этой нормы $k$.
В силу выбора $i$ и $j$ выполняются неравенства $\|\Delta x\|_k \leqslant \|\Delta x\|_i$ и $\|\Delta y\|_k \leqslant \|\Delta y\|_j$
Получим $\varepsilon > \|\Delta x\|_i + \|\Delta y\|_j \geqslant \|\Delta x\|_k + \|\Delta y\|_k \geqslant \|\Delta x + \Delta y\|_k = $ $\|(x +\Delta x) + (y +\Delta y) - (x+y)\|_k$
$\varepsilon > \|(x +\Delta x) + (y +\Delta y) - (x+y)\|_k \geqslant \|(x +\Delta x) + (y +\Delta y) - (x+y)|_l $ для любого $l \in \{i_1, \dots, i_n\}$ в силу выбора $k$
Тогда $x+\Delta x + y+\Delta y \in V_{\varepsilon, i_1,\dots, i_n}(x+y)$

demolishka в сообщении #1526017 писал(а):

чего еще надо потребовать от системы окрестностей, чтобы операции $(x,y) \mapsto x+y$ и $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ были непрерывными.

Если радиус окрестности результата $\varepsilon$, то радиус окрестностей слагаемых должен быть меньше $\varepsilon/2$, радиус окрестности множителя должен быть $\varepsilon/\lambda$

[demolishka]

Ivan_B, я хотел, чтобы Вы сформулировали условие в терминах абстрактного семейства окрестностей нуля $\{ V_{\alpha} \}$ и получили практически то, что уже написали (для суммы): для любого $\gamma$ найдутся $\alpha, \beta$ такие, что $V_{\alpha}+V_{\beta} \subset V_{\gamma}$. А дальше совершенно понятно, что это условие выполняется для семейства окрестностей из счетно-нормированного пространства тупо в силу выпуклости полунорм и никаких выписываний тут не нужно. Причем замечу, что "счетности" не требуется. Поэтому и полезно всё проделать достаточно абстрактно, чтобы разобраться, какие свойства на самом деле могут быть нужны. В Колмогорове-Фомине дальше идут слабые топологии и топология на пространстве основных функций. Это как раз пример ТВП, где нет счетного семейства полунорм. Хотя во многих случаях счетное семейство полунорм можно построить, если ограничиться меньшими подмножествами пространства.

Еще подчеркну, что окрестности нуля нужны не только для задания топологии, но и для большего удобства работы с ней. Исходя из того, как они определяют топологию, можно выделить следующую философию: если нас интересуют топологические свойства объектов, уважающих линейную структуру, то эти свойства можно переформулировать в терминах одних лишь окрестностей нуля. Вот пример с непрерывностью операции сложения: условие $V_{\alpha}+V_{\beta} \subset V_{\gamma}$ в точности означает, что операция $(x,y) \mapsto x+y$ непрерывна в точке $(x_{0},y_{0})=(0,0)$, а непрерывность в остальных точках получается автоматически.

[Ivan_B]

demolishka, еще раз спасибо за Ваши пояснения. Стало понятней.

Есть еще много непонятных моментов, но я не хочу сильно надоедать, как сказал один участник, почтенной публике. Боюсь, чтобы не перестали отвечать. Спрашивать что-то еще буду, когда станет совсем непонятно.
Еще раз всем спасибо за Ваши ответы.