мат. анализ в мат. логике

[Paul Ivanov]

Читаю книжку Клини "Введение в метаматематику" и наткнулся на то, что, как оказывается, математический анализ не удалось построить конструктивно без непредикативных определений Вейлю, а если точнее, то ему не удалось построить аксиому полноты. Я из контекста сделал вывод, что этого в принципе пока никому не удалось и/или вполне возможно даже уже доказано, что это в принципе невозможно (для моего вопроса непринципиально, что именно). А вопрос собственно почему? Я всегда в своих рассуждениях опирался на аксиоматику вещественных чисел из Зорича и судя по интернету она обыкновенна для большинства учебников. И непонятно, зачем вообще нужна аксиома полноты, если вещественные числа можно определить, как дедекиндовы сечения рациональных чисел со стандартным набором из трёх свойств и из такого определения будут естественным образом вытекать все аксиомы порядка, если определить отношение порядка, как отношение включения и сама аксиома полноты тоже будет естественно вытекать. Причём тут предикативность так и не понял. Говорилось что-то вроде того, что при определении наименьшей верхней границы, невозможно определить её никак, кроме как непредикативно, то есть определяя её одновременно КАК элемент множества вещественных чисел и ЧЕРЕЗ СВОЙСТВО множества вещественных чисел (то есть как множество всех множеств рациональных чисел с теми самыми тремя свойствами). Я аналогично не понял зачем в определении наименьшей верхней границы указывать то, что она принадлежит множеству вещественных чисел, если эта принадлежность выводится из определения через СВОЙСТВО, а такое определение вполне полноценно. То есть мы определяем наименьшую верхнюю границу множества $M$, как $SM$ (объединение) и тогда во-первых ес-но она существует и во-вторых в случае наличия верхней грани легко выводятся те самые три свойства $SM$ что и обозначает, что $SM\in\mathbb{R}$ (это безусловно при условии, что мы определяем само множество вещественных чисел через дедекиндовы сечения, а потом уже через аксиомы достраиваем его структуру с операциями сложения и умножения).
Резюмирую: я не понимаю, почему нельзя построить предикативно мат. анализ?
p.s. то, что стандартная аксиоматика вещественных чисел такая, из-за потребности в построении инвариантной модели не привязанной к другим моделям, в частности модели натуральных или рациональных чисел вполне понятно. Непонимание потребности аксиомы полноты возникает именно в рамках резюмируемого вопроса.