Архимед и фундаментальные последовательности

[rishelie]

Привет, я что-то затупил на ровном месте и никак не соображу, верно ли, что если в упорядоченном поле всякая фундаментальная последовательность имеет предел, то это поле является архимедовым?

[Null]

А метрика с полем как нибудь связана? Просто в дискретной метрике любое множество полно.

[rishelie]

Ну, метрика, видимо, невещественная получается, т.к. модуль числа в гипердействительных числах сам является гипердействительным числом. Что не препятствует дать стандартное определение предела.

По сути вопрос формально звучит так: верна ли импликация:

$$ [\forall\{x_n\}(\forall\varepsilon>0\;\exists N\;\forall n,m>N\;|x_n-x_m|<\varepsilon)\to(\exists a\;\forall\varepsilon>0\;\exists N\forall n>N\;|x_n-a|<\varepsilon)] \to[\forall x\;\exists n\in{\mathbb N}\;|x|<n] $$

Естественно, речь идет об упорядоченном поле, содержаем натуральные числа, но не непрерывном.

[Null]

Дак возьмите неархимедово поле с дискретной метрикой $N(0)=0\cap \forall x (x\neq 0\to N(x)=1)$

[xagiwo]

Null
Здесь не метрика, а $|x| = \begin{cases} x,&\text{если $x\geqslant0$;}\\ -x,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$ — не вещественное число

-- 01.07.2021, 12:47 --

Мне кажется, в гипервещественных числах фундаментальных последовательностей в таком смысле вообще нет, кроме констант $\Rightarrow$ все фундаментальные последовательности имеют предел. Хотя могу ошибаться.

[rishelie]

xagiwo в сообщении #1524904 писал(а):

Null
Мне кажется, в гипервещественных числах фундаментальных последовательностей в таком смысле вообще нет, кроме констант $\Rightarrow$ все фундаментальные последовательности имеют предел. Хотя могу ошибаться.

Вот у меня тоже такое подозрение. Потому что длина последовательности "коротковата" для "глубины" HR, если, например, брать поля из сюрреальных чисел Конвея.

[rishelie]

Вроде бы я понял, как доказать, что фундаментальная последовательность в HR будет стационарной (точнее, стабилизрующейся).
Предположим, что $\{x_n\}$ --- фундаментальная и нестационарная последовательность, т.е. для любого $N$ можно найти $n>N$ такой, что $x_N\ne x_n$.
Берем $\varepsilon_0=1$, находим номер $N_0$ такой, что для всех $n,m\geqslant N_0$ получим $|x_n-x_m|<\varepsilon_0$.
Обозначим $a_0=x_{N_0}-\varepsilon_0,\;b_0=x_{N_0}+\varepsilon_0$, тогда для всех $n>N_0$ получим $x_n\in[a_0;b_0]$.
Найдем такой $n_0>n_0$, что $x_{n_0}\ne x_{N_0}$ (нестационарность) и обозначим $\varepsilon_1=|x_{N_0}-x_{n_0}|/2$.
Теперь находим такой $N_1>N_0$, что для всех $n,m\geqslant n_1$ имеем $|x_n-x_m|<\varepsilon_1$ (фундаментальность).
Далее обозначаем $a_1=x_{N_1}-\varepsilon_1,\;b_1=x_{N_1}+\varepsilon_1$, так что $x_m\in[a_1;b_1]$ для всех $m>N_1$.
В то же время, $x_{n_0}\notin[a_1;b_1]$ или $x_{N_0}\notin[a_1;b_1]$.
Снова находим $n_1>N_1$ такой, что $x_{n_1}\ne x_{N_1}$ и обозначим $\varepsilon_2=|x_{N_1}-x_{n_1}|/2$.
Находим $N_2>n_1$... и так далее.
На каждом шаге, пользуясь нестационарностью и фундаментальностью, мы находим такой кусочек в текущем отрезке, в котором,с одной стороны, есть целый хвост нашей последовательности, а с другой стороны, мы постоянно выбрасываем из этого кусочка либо $x_{n_k}$, либо $x_{N_k}$ (либо обоих).
В итоге мы получаем последовательность вложенных отрезков $[a_k;b_k]$ таких, что:
- в каждои отрезке находится бесконечно много членов последовательности $\{x_n\}$;
- вне предела последовательности отрезков находится бесконечно много членов этой последовательности.

Вот этих вторых, очевидно, бесконечно мнго как минимум с одной из сторон вложенных отрезков. Пусть для определенности слева от них. Тогда мы получаем две подпоследовательности $\{x_n\}$,обозначим их $x_{n_k}$ и $x_{m_k}$ таких, что:
$x_{m_k}\leqslant a_k\leqslant x_{n_k}\leqslant b_k$.

Если бы это были вещественные числа, то ничего страшного не случилось бы - у обоих подпоследовательностей был бы общий предел, равный $\sup a_k$.

Но в HR все немного сложнее. Мы можем теперь построить последовательность $y_k=x_{n_k}-x_{m_k}$ положительных чисел. Остается показать, что она не может стремиться к нулю.

Тут нужно вспомнить, как строятся гипервещественные числа, а именно через классы эквивалентных вещественных последовательностей, т.е. каждое $y_k$ --- это некоторый класс эквивалентности последовательности $z_{k,m}$. Мы можем сразу считать, что $y_k<1/2$ и даже что она невозрастает (если это не так, что отделить ее от нуля еще проще).. Тогда построим новую последовательность вещественных чисел диагональным методом:

$$z_m = z_{m,m}^2$$

Ее класс эквивалентности обозначим за $\varepsilon$. Это будет некоторое положительное гипердействительное число, которое строго меньше всех $y_k$ (поскольку $z_m=o(z_{k,m})$). Тогда получается, что $y_k>\varepsilon>0$ для всех $k$.

Ну и далее из фундаментальности $\{x_n\}$ находим такой номер $N$, что для всех $n,m>N$ имеем $|x_n-x_m|<\varepsilon$, а этого не может быть, т.к. расстояние между $x_{n_k}$ и $x_{m_k}$ заведомо больше $\varepsilon$.

Следовательно, если $\{x_n\}$ фундаментальная, то она стационарна (начиная с какого-то номера).

Немного аляповато получилось, но воде бы мысль оформил.

[rishelie]

rishelie в сообщении #1525215 писал(а):

Найдем такой $n_0>n_0$, что $x_{n_0}\ne x_{N_0}$ (нестационарность) и обозначим $\varepsilon_1=|x_{N_0}-x_{n_0}|/2$.

тут, конечно же, $n_0>N_0$,

Цитата:

Теперь находим такой $N_1>N_0$, что для всех $n,m\geqslant n_1$ имеем $|x_n-x_m|<\varepsilon_1$ (фундаментальность).

а тут $N_1>n_0$.

[xagiwo]

rishelie в сообщении #1525215 писал(а):

Тогда построим новую последовательность вещественных чисел диагональным методом:

$$z_m = z_{m,m}^2$$

Если все $z_{m, m}$ заменить на единицы, игреки не изменятся, а $\varepsilon$ станет равно 1

[rishelie]

А я там специально выше написал, что можем считать $y_k<1/2$, тогда $z_{m,m} <1$ заведомо для почти всех $m$.
На самом деле, можно задать

$$ y_k = \min\{1/2, (x_{n_1}-x_{m_1}),\dots,(x_{n_k}-x_{m_k})\}, $$

чтобы уж наверняка.