Функция Грина в матфизике

[Stensen]

Здравия всем. Уважаемые, помогите найти функцию Грина для оператора (из Зельдовича,Мышкиса "Элементы прикладной мат ...":
1. $Lf=f(x+1)$
2. $Lf=f(x^2)$

1. рассматривая как обобщенную $f(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)\delta (\xi-x) d\xi$ , действие оператора на $f$ можно записать:
$Lf=f(x+1)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)\delta (\xi-(x+1)) d\xi$, тогда $G(x,\xi) = \delta (\xi-x-1) $

У автора в ответе $G(x,\xi) = \delta (x - \xi +1)$ , имеет ли это значение т.к. $\delta (x )$ функция четная?

2. аналогично: $Lf=f(x^2)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)\delta (\xi-x^2) d\xi$. Тогда:
для $\xi <0, \,\,G(x,\xi)=0 $,
для $\xi >0, \,\, G(x,\xi)=\delta (\xi-x^2)$

У автора в ответе для $\xi >0, \,\, G(x,\xi)=\frac{1}{2\sqrt{\xi}} (\delta (x-\sqrt{\xi}) + \delta (x+\sqrt{\xi}))$. Поясните пожалуйста как это получилось?

[amon]

Stensen в сообщении #1524722 писал(а):

для $\xi >0, \,\, G(x,\xi)=\frac{1}{2\sqrt{\xi}} (\delta (x-\sqrt{\xi}) + \delta (x+\sqrt{\xi}))$.

Если функция $f(x)$ имеет простые нули в точках $x_i:\; f(x_i)=0,$ то

$$\delta(f(x))=\sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

[Stensen]

amon в сообщении #1524723 писал(а):

Если функция $f(x)$ имеет простые нули в точках $x_i:\; f(x_i)=0,$ то

$$\delta(f(x))=\sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Поясните пожалуйста, как получить эту формулу? Для функции с одним нулем понятно. Правильно я понимаю, что для $f(x)$, имеющей простые нули в точках: $x_1,x_2, ..., x_n$, можно формально расписать интеграл:

$ \delta (f(x)) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi (x) \cdot \delta (f(x)) dx = \sum\limits_{i=1}^{n} \,\,\int\limits_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} \varphi (x) \cdot \delta (f'(x_i)(x - x_i)) dx $

[amon]

Stensen в сообщении #1524784 писал(а):

Поясните пожалуйста, как получить эту формулу?

Гляньте: Владимиров В.С. Обобщенные функции и их применение [МК-1990-01, Знание, 1990] стр.16.

[Stensen]

Благодарствую