Кострикин - Фибоначчи

[user2k20]

Из книги Кострикина "Введение в алгебру.Часть-1", 3-е изд, стр. 36.
Пусть $f_{n}$ - число Фибоначч с номером $n$. Соответствие $n\mapsto f_{n}$ определяет отображение $ \mathbb{N} \to \mathbb{N} $, не являющееся ни сюръективным, что очевидно, ни инъективным, поскольку $f_{1} = f_{2} = 1$

Почему не является суръективным? Понимаю суръекцию так, что любому $ y \in B\subset Y $ соответствует как минимум один $ x \in A\subset X $ и т.о.$ F(x_{1}) = F(x_{2}) = y_{1}, F(x_{2}) = y_{2}$ и т.д.

[Lia]

Ну и какой икс соответствует игреку, равному 4, например?

[user2k20]

так игрика, равного 4-м нету, если это фибо без первого элемента(ноля). т.е. я понимаю так, что $X= \lbrace 1,2,3,4... \rbrace$, $Y = \lbrace 1,2,3,5...\rbrace $

[svv]

user2k20 в сообщении #1524593 писал(а):

Понимаю суръекцию так, что любому $ y \in B\subset Y $ соответствует как минимум один $ x \in A\subset X $

Приведите, пожалуйста, определение полностью.
Что у Вас означают $A,B,X,Y$? По каждому обозначению, пожалуйста.

[Евгений Машеров]

Потому, что отображение не в ряд возможных значения чисел Фибоначчи, а в целые числа.

[user2k20]

svv
$X \in \mathbb{N}$ , $Y \in \mathbb{N}$- произвольные множества
подмножество $A\subset X$, так что $f(A) = \lbrace y \in Y, \exists x \in A: f(x) = y\rbrace $ - образ
подмножество $B\subset Y$, так что $f^-1(B) = \lbrace x \in X: f(x) \in B \rbrace $ - прообраз
Сюръекция - любой $y \in Y $ соответствует минимум одному $x \in X $ , а также любой $y \in Y $ является образом какого-то x

[alcoholist]

user2k20 в сообщении #1524634 писал(а):

$X \in \mathbb{N}$ , $Y \in \mathbb{N}$- произвольные множества
подмножество $A\subset X$, так что $f(A) = \lbrace y \in Y, \exists x \in A: f(x) = y\rbrace $ - образ
подмножество $B\subset Y$, так что $f^-1(B) = \lbrace x \in X: f(x) \in B \rbrace $ - прообраз
Сюръекция - любой $y \in Y $ соответствует минимум одному $x \in X $ , а также любой $y \in Y $ является образом какого-то x

чушь какая-то, начиная с $X \in \mathbb{N}$.
$X$ это натуральное число?

Структура любого определения обычно такова:
Тучкой (определяемое понятие) называется дерево (родовое понятие) у которого ровно три улыбки (условие).
Или (можно менять порядок):
Дерево ровно с тремя улыбками называется тучкой.

[user2k20]

alcoholist, По условию задачи, которое я полностью привел выше, определено отображение множества натуральных чисел в множество натуральных чисел, отсюда я так и написал. А далее привел определения образа и прообраза из лекций с ютуба. Строго не судите, изучаю математику для себя, отойдя немного в сторону от задачи мне хочется правильно до конца понять эти вещи(отображения), чтобы дальше продвинутся.
Из объяснения на пальцах мне понравились следущие определения(перевел с английского):
1) инъекция: всё(элементы из Икс- элементы из Игрек), что образует пару, образует пару не более 1 раза
2) суръекция: всё образует пару минимум 1 раз
3) биекция: всё образует пару в точности 1 раз
согласны?

[svv]

user2k20 в сообщении #1524634 писал(а):

$X \in \mathbb{N}$ , $Y \in \mathbb{N}$- произвольные множества

Предложу три вольных интерпретации:

1) Буквально $X \in \mathbb N, Y\in \mathbb N$.
Следует различать значки $\in$ (принадлежит) и $\subset$ (является подмножеством). Принадлежат множеству только его элементы. Множеству $\mathbb N$ принадлежат только натуральные числа. Но вряд ли Вы под $X$ и $Y$ понимали некоторые натуральные числа.

2) $X \subset \mathbb N, Y\subset \mathbb N$.
Так имело бы смысл писать в каком-то другом примере, но у Вас всё проще:

3) $X=\mathbb N, Y=\mathbb N$
Да. Просто потому что у Вас $f: \mathbb N\to\mathbb N$.

Множество $Y$ тут называется кодомен, или область прибытия.
Множество $f(X)$ — образ $X$ при отображении $f$.
Термин область значений, к сожалению, у разных авторов имеет разный смысл. Например, Кострикин под этим понимает кодомен, а Зорич образ. Предлагаю поэтому использовать термины кодомен и образ.

$f$ не является сюръекцией, потому что образ, т.е. $\{1,2,3,5,8,...\}$, не совпадает с кодоменом, т.е. $\mathbb N$.

[user2k20]

svv
Спасибо, прояснили! А может посоветуете книги, где разжевано всё это попроще и не в два абзаца, можно и на английском, и еще очень в помощь было бы наличия решебника к таким упражнениям. Я нашел Charles Pinter "Abstract algebra" - просмотрел мельком - вроде подробнее, чем в других книгах.

[svv]

Посоветовать литературу не смогу, к сожалению. Прошу других участников с этим помочь.