Работа электрополя по замкнутому контуру

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите разобраться.
1. Известно, что электрополе точечного заряда потенциально. В плоскости $XOY $ описывается:

$\vec{E}=\frac{q}{r^2}\frac{\vec{r}}{\left\lvert r \right\rvert}$, где: $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Ищу работу поля по окружности радиуса $R$ c центром в точке $(0,0)$, где расположен заряд. В координатах:

$\int\limits_{L_R}^{} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \int\limits_{L_R} \frac{xdx}{r^3} + \frac{ydy}{r^3}$. Нетрудно показать, что $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ и выражение под интегралом, согласно матану, является полным дифференциалом и контурный интеграл должен быть равен нулю, если область односвязна. Перейдя к полярным координатам, подставив в интеграл, получим ноль:

$x=R \cos \alpha, y=R \sin \alpha$

$P = \frac{\cos \alpha}{R^2}; \, \, Q= \frac{\sin \alpha}{R^2};\,\, dx=-R \sin \alpha \, dt;\,\, dy=R \cos \alpha \, dt$

$\int\limits_{L_R}^{} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$, не взирая на многосвязность области, в которой лежит контур. С точки зрения физики понятно, вектор перемещения везде на контуре перпендикулярен силе. С точки зрения математики не понятно. Все ли верно?

2. Рассмотрим другое поле:

$P=\frac{-y}{x^2+y^2}; \,\,Q=\frac{x}{x^2+y^2}$, очевидно здесь: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$, но, интегрируя по окружности с центром в $(0,0) $, ноль не получим:

$\int\limits_{L_R}^{} P(x,y)dx + Q(x,y)dy \ne 0$. С точки зрения математики понятно, здесь не односвязная область. С точки зрения физики не понятно.

Проясните пожалуйста, в чем мне нужно разобраться?

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1523957 писал(а):

2. Рассмотрим другое поле:

$P=\frac{-y}{x^2+y^2}; \,\,Q=\frac{x}{x^2+y^2}$, очевидно здесь: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$,

Я бы сказал, что очевидно нечто противоположное.

[Stensen]

Pphantom в сообщении #1523966 писал(а):

Stensen в сообщении #1523957 писал(а):

2. Рассмотрим другое поле:

$P=\frac{-y}{x^2+y^2}; \,\,Q=\frac{x}{x^2+y^2}$, очевидно здесь: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$,

Я бы сказал, что очевидно нечто противоположное.

Не понял намек, поясните пожалуйста

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1523975 писал(а):

Не понял намек, поясните пожалуйста

Знак минус вас совсем не интересует?

[AnatolyBa]

Stensen в сообщении #1523957 писал(а):

С точки зрения математики не понятно.

Вопрос необходимости и достаточности. Математика не обещает нулевую циркуляцию в данном случае, но и не запрещает.

Stensen в сообщении #1523957 писал(а):

С точки зрения математики понятно, здесь не односвязная область. С точки зрения физики не понятно.

Вы взяли магнитное поле провода, очевидно не потенциальное, и сказали - пусть это будет электростатическое поле. Но это не может быть электростатическое поле, ротор в точке 0 обращается в бесконечность

[sergey zhukov]

Stensen
В первом случае условие потенциальности выполняется во всех точках поля, во втором - не во всех.

[Stensen]

sergey zhukov в сообщении #1523989 писал(а):

Stensen
В первом случае условие потенциальности выполняется во всех точках поля, во втором - не во всех.

Поясните пожалуйста почему поле точечного заряда (в первом случае) потенциально во всех точках, и в нуле тоже, ведь функция:

$\vec{E}=\frac{x}{(\sqrt{x^2+y^2})^3}\cdot \vec{i} + \frac{y}{(\sqrt{x^2+y^2})^3}\cdot \vec{j}$ разрывна в нуле?

[svv]

http://dxdy.ru/post1008522.html#p1008522

[sergey zhukov]

Stensen
Да так уж получается, если взять циркуляцию по контуру, включающему или не включающему центральную точку. В первом примере от этого ничего не зависит, а во втором - зависит. Значит, в первом случае ротор равен нулю везде, а во втором случае в центральной точке что-то не так с ротором.

[Stensen]

Спасибо всем, буду разбираться