Помогите найти информацию о… (элементарная ТЧ)

[xagiwo]

Интересует уравнение в натуральных (а может даже положительных рациональных) числах $a_1^{a_2}=a_2^{a_3}=…=a_n^{a_{n+1}}$, где о нём можно почитать (если кому-то пришло в голову его рассматривать)? Какие вообще есть способы искать в интернете информацию о подобных вещах? Отчаянная попытка вбить в oeis "256, 2, 16, 4, 8" и "2, 4, 2, 4,…" результатов не дала :)

[kotenok gav]

Довольно простое, кажется. (Пока писал, передумал.)
Очевидно, что все эти числа (кроме $a_{n+1}$) - степени некого числа $x$. Пусть $a_1=x^{b_1}$, $a_2=x^{b_2}$, и т.д. Пусть $b_1a_2=y$. Тогда $x^{b_2}=\dfrac y{b_1}$, $x^{b_3}=\dfrac y{b_2}$, ну и т.д. Т.е. $b_2=\log_x y-\log_x b_1$, $b_3=\log_x y-\log_x b_2$, и т.д. Возможно, что-то можно состряпать из этого...

[xagiwo]

Я что-то подобное делал (но без логарифмов, они мне не нравятся) и решил в натуральных, но хотелось бы узнать, где об этом что-нибудь написано, кроме как у меня в черновике. Задача вроде не совсем тривиальная

[ИСН]

Вполне могло и не быть нигде. В элементарной ТЧ всё ещё полно таких "низко висящих фруктов". А что интересного нашли? Цепочка целых чисел всегда конечна? Из каких чисел получаются самые длинные цепочки?

[xagiwo]

Все длины $\leqslant 4$, кроме (256, 2, 16, 4, 8), (2, 4, 2, 4…) и (n, n…)
Все длины 4 получаются из $a_2 =x^{lx^p}, a_3 = x^{lx^q}, q \geqslant p$