Целые значения рациональной функции-3

[nnosipov]

Какие целые значения может принимать дробь

$$\frac{x^2y^2-xy-1}{xy+x-1}$$

при всевозможных натуральных значениях переменных $x$ и $y$? И (на всякий случай) тот же вопрос для дроби

$$\frac{x^2y^2-xy+1}{xy+x-1}.$$

[dmd]

В первом случае $1 - 3 x + x^2$, во втором $1$.

[Sonic86]

(решение)

$x,y\in\mathbb{N}\Rightarrow xy+x-1>0$
1. $x^2y^2-xy-1 \equiv x(x-y-2) \pmod {xy+x-1}$
$xy+x-1\mid x(x-y-2)$ и $\gcd(xy+x-1,x)=1$ $\Rightarrow$ $xy+x-1\mid x-y-2$.
Если $x=y+2$, то получаем серию значений вида $y^2+y-1$.
Случай $x-y-2>0$ дает $xy+x-1\leqslant x-y-2$ $\Leftrightarrow$ $xy+y+1\leqslant 0$ - нет решений.
Случай $x-y-2>0$ дает $xy+x-1\leqslant -x+y+2$ $\Leftrightarrow$ $xy+2x-y-3\leqslant 0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)(y+2)\leqslant 1$ $\Rightarrow$ $x=1$ $\Rightarrow$ $y\mid -y-1$ $\Rightarrow$ $y=1$ $\Rightarrow$ дробь $=1 \in \operatorname{Im}(y^2+y-1)$

2. $x^2y^2-xy+1 \equiv x(x+y) \pmod {xy+x-1}$
$xy+x-1\mid x(x+y)$ и $\gcd(xy+x-1,x)=1$ $\Rightarrow$ $xy+x-1\mid x+y$ $\Rightarrow$ $xy+x-1 \leqslant x+y$ $\Leftrightarrow$ $y(x-1) \leqslant 1$ $\Leftrightarrow y=1, x\in\{1;2\}$. Подставляем, получаем оба значения $=1$.

[nnosipov]

Да, все верно. Похоже, подобные задачи уже пора считать стандартными (в том смысле, что если они вообще решаются, то решаются стандартными рассуждениями).

[Dendr]

Тогда должна существовать метазадача, что-то наподобие: при каких значениях параметров $a, b, c, d\in \mathbb{Z}$ разрешима (в смысле существования непустого общего решения) задача, поставленная в заголовке темы, для дробей вида
$\frac{x^2y^2+axy+b}{xy+cx+d}$?

На первый взгляд, первое требование для решения в общем виде - $d|b$ (кстати, ожидаемо, если расширить ОО до целых)... А вот дальше ветвление даёт сбои.

[nnosipov]

Dendr в сообщении #1523914 писал(а):

при каких значениях параметров $a, b, c, d\in \mathbb{Z}$ разрешима (в смысле существования непустого общего решения) задача, поставленная в заголовке темы, для дробей вида
$\frac{x^2y^2+axy+b}{xy+cx+d}$?

Вряд ли здесь возможен какой-то разумный ответ. А вот алгоритм, выясняющий, какие целые значения может принимать указанная дробь при заданных параметрах $a$, $b$, $c$, $d$, наверняка есть.