Интеграл

[XenoX]

Нужно решить вот этот интеграл:
\int\limits_0^\pi \cos^4\theta \sin\theta $P_l(\cos\theta)$d\theta
Где P_l(\cos\theta), это полином Лежандра.
На сколько я понимаю нужно ввести замену x =\cos{x} тогда, получаем интеграл:
\int\limits_0^\pi x^4 $P_l(x)$dx
Скорее всего, это табличный, но у меня нет таблиц с такими интегралами. Или его видимо можно взять по частям, но я не знаю, что там происходит с полиномом.
Собственно подскажите, где можно посмотреть, как решать такие интегралы или, что нужно делать с полиномами.

[Taras]

А границы интегрирование поменять?
А какие свойства полиномов Лежандра Вы знаете? Чем они особенны?

Таблиц тут никаких не нужно.

[Jnrty]

Jnrty:

XenoX, формулы следует окружать знаками доллара: $P_l(\cos\theta)$.

$P_l(\cos\theta)$

Обратите внимание также на символ "\" перед именем функции.

[XenoX]

Taras
Честно говоря я до этого момента не работал с этими полиномами, вот почитав немного знаю про ортогональность, норму, нули. Но как это применить конкретно к этому интегралу понять не могу.
p.s. Возможно это идиотский вопрос, но как можно поменять пределы интегрирования? И что это даст ведь всё равно там есть множитель x^4

[V.V.]

Если делаете замену $x=\cos\theta$, то как будет меняться $x$, если $\theta$ меняется от $0$ до $\pi$?

А дальше напишите, чему полином Лежандра равен, и интегрируйте себе по частям.

[Taras]

http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
Здесь посмотрите. Ортогональность + формула (6), (4) помогут упростить счет.

Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд:

XenoX писал(а):

Taras

p.s. Возможно это идиотский вопрос, но как можно поменять пределы интегрирования? И что это даст ведь всё равно там есть множитель x^4

Ну, по крайней мере 0 перейдет в 1, $\pi $ в -1.

[XenoX]

теперь у нас получается интеграл:
-\int\limits_{-1}^1 x^4 $P_l(x)$dx
Дальше я опять начинаю тупить, допустим берёмu = x^4 тогда получается:
2 - \int\limits_{-1}^1 $P_l(x)$d4x^3
Я правильно рассуждаю или это чушь полнейшая?
Taras
Я так понимаю, надо рассматривать только первые четыре полинома.

[Taras]

Интеграл без минуса.
Дальше, моя идея заключается в том, чтобы использовать ортогональность полиномов Лежандра на $[-1,1]$. Сначала выразим $x^4$ через $P_4, x^2$, дальше $x^2$ через $P_2$ и воспользуемся ортогональностью, нужно будет перебрать нескольно случаев для $l$.

[V.V.]

Имеет место формула $\int\limits_{-1}^1 x^mP_n(x)\,dx=0$ при $m<n$. Поэтому проверять надо действительно только четыре интеграла. Точнее, еще меньше, потому что иногда можно пользоваться тем, что интеграл от нечетной функции по симметричному отноительно нуля интервалу равен нулю.

[Taras]

формула V.V. - быстрее даст ответ.
Хотя, то что я писал - ето формула (12) из Вольфрама..