2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Преобразование уравнения для численного решения
Сообщение06.06.2008, 15:16 
Аватара пользователя


23/01/08
565
При численном решении уравнения $F(x)=0$ его преобразовывают к виду $x=x-\lambda f(x)$. Меня интересует вот какой вопрос: а всегда ли можно подобрать $\lambda$ так, чтобы на отрезке $[a,b]$ отображение $x\mapsto x-\lambda f(x)$ было сжатием?
Это чтобы математически быть уверенным в единственности решения :)

По-моему, всегда можно, если $f(x)$ строго монотонна и имеет один корень на данном отрезке, но строго доказать это я пока не могу, и кроме того условия слишком жесткие, наверняка есть более слабые ограничения на $f(x)$.

P.S. Как обозначается стрелочка с черточкой?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
При численном решении уравнения $F(x)=0$ его преобразовывают к виду $x=x-\lambda f(x)$
Несколько странный вид :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:27 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Например уравнение $$x=\frac 1 2 (\frac a x+x)$$ удовлетворяет условию сходимости, а $$x=\frac a x$$ - нет. Кроме того непонятно какой корень будет найден, напрмер в уравнении $$sin(x)=\frac x 2$$. Вот мне и хочется сразу определять, будет сжатие или нет.

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

Brukvalub, тогда такая поправка: если мы все же его так преобразовали
(и сначала Вы не то написали :) ).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Spook писал(а):
P.S. Как обозначается стрелочка с черточкой?

Это которая $\mapsto$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:31 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Кстати самый первый пример - быстрый способ вычисления корня, где-то видел подобные примеры и для других степеней и не только степеней, но не помню :( , если кто-то знает где есть такая информация, буду благодарен за ссылку.

Добавлено спустя 35 секунд:

RIP да, спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование уравнения
Сообщение06.06.2008, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Spook писал(а):
По-моему, всегда можно, если $f(x)$ строго монотонна и имеет один корень на данном отрезке, но строго доказать это я пока не могу,...

Оно и понятно, что не могёте. Берём, скажем $f(x)=\sqrt{|x|}\mathop{\mathrm{sgn}}x$ на отрезке $[-1;1]$. Попробуйте подобрать такое $\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:39 
Аватара пользователя


23/01/08
565
RIP, я забыл упомянуть ещё и про диффернцируемость функции :) - кстати необходимое условие для применения теоремы о единственности.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

А функции Вы мастер подбирать :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:46 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Spook писал(а):
вопрос: а всегда ли можно подобрать $\lambda$ так, чтобы на отрезке $[a,b]$ отображение $x\mapsto x-\lambda f(x)$ было сжатием?

а всегда ли уравнение $f(x)=0$ имеет решения?
:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:49 
Аватара пользователя


23/01/08
565
zoo ну так я же и сказал:
Spook писал(а):
По-моему, всегда можно, если $f(x)$ строго монотонна и имеет один корень на данном отрезке

и еще функция должна быть дифференцируемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование уравнения
Сообщение06.06.2008, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Налагайте ограничение $0 < m_1< f'(x) < M_1$ и доказывайте

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование уравнения
Сообщение06.06.2008, 15:54 
Аватара пользователя


02/04/08
742
TOTAL писал(а):
Налагайте ограничение $0 < m_1< f'(x) < M_1$ и доказывайте

может лучше ограничиться липшицевостью? а зачем снизу оценивать

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 15:56 
Аватара пользователя


23/01/08
565
zoo этим наверное не ограничиться, так как тогда никто не запретит функции быть, напрмер, константой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование уравнения
Сообщение06.06.2008, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
zoo писал(а):
TOTAL писал(а):
Налагайте ограничение $0 < m_1< f'(x) < M_1$ и доказывайте

может лучше ограничиться липшицевостью? а зачем снизу оценивать
Снизу ограничевать, чтобы иметь гарантированную сжимаемость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 16:06 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Spook писал(а):
zoo этим наверное не ограничиться, так как тогда никто не запретит функции быть, напрмер, константой.

да с константой сжатия не получится

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 17:45 
Аватара пользователя


23/01/08
565
TOTAL мне кстати кажется, что наши условия эквивалентны :)
Итак, я готов изложить строгое доказательство своих условий на функцию.
Условие сжатия запишем так:
$$|\frac {F(x_1)-F(x_2)}{x_1-x_2}|\leqslant q<1$$, что эквивалентно:
$$1-q\leqslant\lambda\frac {F(x_1)-F(x_2)}{x_1-x_2}\leqslant1+q$$. Кроме того, очевидно, что $\lambda>0$ иначе не будет выполнено отображение $[a,b]\to[a,b]$. Отсюда следует что $f(x)$ строго возрастает. Теперь о количестве корней. По свойству сжатия найдется единственная точка $F(x)=x$, откуда следует, то $-\lambda f(x)=0$, причем в одной точке.
Вот, вроде все. Готов выслушать аргументированную критику.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Для людей с неклассической логикой сейчас напишу, чему конкретно равна $\lambda$ :) .

Добавлено спустя 9 минут 47 секунд:

Пусть $m,M$ соответсвенно минимум и максимум выражения $$\frac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$, тогда $\lambda M\leqslant1+q$, а $1-q\leqslant\lambda m$, откуда $$\lambda\leqslant\frac 2 {M+m}$$
Теперь условия, выдвинутые к функции $f(x)$ являются достаточными, что бы $\lambda$ нашлось всегда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group