ядро в определении внешней степени модуля

[beroal]

Читаю в учебнике:

Цитата:

Теперь рассмотрим подмодуль $A\left(\bigotimes^n M\right)$ модуля $\bigotimes^n M$, порождённый множеством элементов вида $m_1\otimes \dots \otimes m_n$, где $m_i=m_j$ для некоторых различных $i$ и $j$, другими словами, подмодуль, порождённый такими элементами $x$, что $\tau^*(x) = x$ для некоторой транспозиции $\tau$.

Определение $\sigma \mapsto \sigma^*$:

Цитата:

$$\sigma^*\left(x_1\otimes \dots \otimes x_n\right) = x_{\sigma^{-1}(1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma^{-1}(n)}.$$

Автор вроде бы подразумевает, что два упомянутых подмодуля равны. Я не могу этого доказать.

Доказать, что первый подмодуль включён во второй, легко. Пусть $\tau$ — транспозиция, которая обменивает $i$ и $j$, которые заданы выше. Тогда, если $m_1, \dots, m_n$ такие, как задано выше, то $\tau^*\left(m_1\otimes \dots \otimes m_n\right) = m_1\otimes \dots \otimes m_n$.

Пытаюсь доказать, что второй подмодуль включён в первый. Для начала беру частный случай: доказать, что если $v\otimes w = w\otimes v$, то $v\otimes w = \sum_i \lambda_i (x_i\otimes x_i)$ для некоторого семейства векоторов $\{x_i\}_i$ и семейства скаляров $\lambda _i$.

$$2(v\otimes w) = v\otimes w + w\otimes v = (v+w)\otimes(v+w) - (v\otimes v + w\otimes w).$$

Поскольку речь идёт о кольце, а не о поле, я не могу просто поделить выражение выше на $2$. Да и поле может иметь характеристику $2$. О кольце известно только то, что оно коммутативно. Вроде бы я нашёл контрпример для $M = \mathbb{Z}^2$, хотя не уверен, что он правильный, так как я в этом пока плохо разбираюсь.

$A\left(\bigotimes^n M\right)$ использован для определения внешней степени: $\bigotimes^n M / A\left(\bigotimes^n M\right)$.

[Slav-27]

beroal в сообщении #1522305 писал(а):

Вроде бы я нашёл контрпример для $M = \mathbb{Z}^2$

А какой? Мне кажется, что они правда одинаковые.

Обозначим первый $K$ и второй $L$. Вы доказали, что $2L\subset K\subset L$. Осталось показать, что индуцированное отображение $K/2\to L/2$ сюръективно (я обозначаю $K/2:=K/2K\simeq K\otimes_R{\mathbb F_2}$). Обозначим $\widetilde M:=M/2$ (расматриваемое как $\mathbb F_2$-модуль) и соответствующие модули $\widetilde K$ и $\widetilde L\subset \widetilde M\otimes_{\mathbb F_2}\widetilde M$. Так как естественные отображения $\widetilde K\to K/2$ и $\widetilde L\to L/2$ сюръективны по конструкции тензорного произведения, то достаточно доказать $\widetilde K=\widetilde L$, то есть мы свели дело к случаю векторных пространств; а для векторных пространств $v\otimes w=w\otimes v$ равносильно пропорциональности $v$ и $w$.

[beroal]

Вы правы, в моём контрпримере ошибка, он не удовлетворяет $v\otimes w = w\otimes v$.