Зачем её получать? Скорость в длинной линии равна скорости света.
Сие знание не всем дано свыше. А получается скорость достаточно элементарно, и я не вижу причины не проделать этих вычислений.
Наоборот, через скорость и ёмкость считают погонную индуктивность.
Индуктивность (если она нужна) вычисляется примерно настолько же элементарно, как емкость.
А напряжение за фронтом определяется соотношением импеданса линии и сопротивления нагрузки на дальнем конце.
Мне казалось, с дидактической точки зрения, что лучше обойтись без введения новых понятий, где можно обойтись старыми. Как раз из решения возникает волновое сопротивление (aka импеданс) и то самое отношение.
-- 16.06.2021, 11:26 --(Мое решение)
Вложение:
ac_sem5n2res.png [ 11.33 Кб | Просмотров: 1908 ]
До отключения источника в цепи течет электрический ток
![$,I=\dfrac{\cal E}{R}$ $,I=\dfrac{\cal E}{R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/d/58d3e391ca9b45a6e90fda2cbbe94c6282.png)
, создающий между пластинами магнитное поле с индукцией
![$\,B=\mu_0\dfrac{I}{a}$ $\,B=\mu_0\dfrac{I}{a}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8dc379a7a9a26f6263b26380970230b82.png)
. Также между пластинами существует электрическое поле
![$\,E=\dfrac{\cal E}{b}$ $\,E=\dfrac{\cal E}{b}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/a/e5ac33aab05872d5d657958ac3af967b82.png)
.
После отключения источника ток в непосредственной близости к нему обращается в нуль. Также обращается в нуль магнитное поле, а электрическое изменяется до нового значения
![$\,E'$ $\,E'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/3/e53eb4d70d187488d4d6b01a3380639282.png)
. Вдали от края поля прежние. Изменения будут распространяться в виде волны со скоростью
![$\,V$ $\,V$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/180cc0bbdfae3d845ced7090694d070282.png)
. Рассмотрим контур высоты
![$\,l$ $\,l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/9/219ab6c9fab9e98992c4381a27fd839482.png)
, расположенный перпендикулярно шинам и захватывающий фронт волны и запишем для него закон Фарадея (верхний рисунок)
![$$\displaystyle\oint{\bf E}\cdot{\bf dl}=(E-E')l=-\dfrac{d\Phi}{dt}=BVl=\mu_0HVl\quad\Rightarrow\quad E-E'=\mu_0HV. \qquad (1)$$ $$\displaystyle\oint{\bf E}\cdot{\bf dl}=(E-E')l=-\dfrac{d\Phi}{dt}=BVl=\mu_0HVl\quad\Rightarrow\quad E-E'=\mu_0HV. \qquad (1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/b/90b1e69a507187e16d528381d854848a82.png)
Далее возьмем контур, параллельный шинам, и запишем уравнение для тока смещения (нижний рисунок)
![$$\displaystyle\oint{\bf H}\cdot{\bf dl}=Hl=\dfrac{d}{dt}\int{\bf D}\cdot{\bf dS}=\varepsilon_0(E-E')Vl\quad\Rightarrow\quad H=\varepsilon_0(E-E')V. \qquad (2)$$ $$\displaystyle\oint{\bf H}\cdot{\bf dl}=Hl=\dfrac{d}{dt}\int{\bf D}\cdot{\bf dS}=\varepsilon_0(E-E')Vl\quad\Rightarrow\quad H=\varepsilon_0(E-E')V. \qquad (2)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/6/1466adfbd72f76246c968e64a98e14ba82.png)
Перемножив уравнения (1) и (2) видим, что нетривиальные решения возможны только при
![$\,V^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0}=c^2$ $\,V^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0}=c^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/8/9b89285ef2e6bc41367b49b05a53405f82.png)
, то есть волна распространяется со скоростью света. Подставив
![$\,V\,$ $\,V\,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/2/152b9dbc8f6c7c2336228763e79ddfd282.png)
в одно из уравнений, получим
![$$E'=E\left(1-\dfrac{b}{Ra}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\right)=\dfrac{I}{b}(R-R_w).$$ $$E'=E\left(1-\dfrac{b}{Ra}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\right)=\dfrac{I}{b}(R-R_w).$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/c/aec718aaeb4c786f7ddd675523aab09182.png)
Величина
![$\,R_w=\dfrac{b}{a}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\dfrac{b}{a}R_0\,$ $\,R_w=\dfrac{b}{a}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\dfrac{b}{a}R_0\,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/f/2dff814bd898548f88ed8f7e1a8de34482.png)
называется волновым сопротивлением,
![$\,R_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi$ $\,R_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/c/bdcd53550cfe62d6267e8b9e952b382082.png)
Ом -- «сопротивление вакуума».
В случае
![$\,R=R_w\,$ $\,R=R_w\,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/e/9eefa970730408990eed0643ea663a4e82.png)
нагрузка называется согласованной, при этом
![$\,E'=0$ $\,E'=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/2/1d28364c02b02c66c271279919a3322082.png)
. При
![$\,R\ne R-w\,$ $\,R\ne R-w\,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/b/9dbe0012198accd38c5bf0cb48eeaaa682.png)
нагрузка несогласованная,
![$\,E'\ne 0$ $\,E'\ne 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e1eb9f2da66145f371b0f72965f515c82.png)
, и возникает отраженная волна, которая идет влево, затем отражается от свободного конца, идет вправо и т.д.