Движение евклидовой плоскости.

[EminentVictorians]

Пусть есть $E^2$ - евклидова плоскость. Преобразованием множества $X$ будем называть любое отображение $X \to X$. Движение евклидовой плоскости - это преобразование, сохраняющее расстояния. Я хочу доказать, что любое движение является биекцией.

С инъективностью все легко: пусть нашлись 2 разные точки $A$ и $B$ такие, что $f(A) = f(B)$, где $f$ - некоторое движение. Тогда $\rho(A, B) \ne 0$ и вместе с этим $\rho((f(A), f(B)) = 0$, т.е. $f$ не сохранила расстояния. Получили противоречие, инъективность доказана.

Дальше надо доказать сюрьективность. Я делал так: предположим, нашлось не сюрьективное движение $f$. Это значит, существует точка $M$ такая, что ее прообраз пуст: $f^{-1}(M) = \varnothing$. Проведем через точку $M$ прямую и попробуем найти на ней 2 точки $A$ и $B$ (с непустыми прообразами), равноотстоящие от точки $M$ (т.е. точка $M$ является серединой отрезка $AB$). Предположим, что мы эти точки нашли. Далее берем $f^{-1}(A)$ и $f^{-1}(B)$, соединяем их в отрезок и находим его середину - пусть это будет точка $X$. Эта точка $X$ равноудалена от $f^{-1}(A)$ и $f^{-1}(B)$, а значит $f(X)$ должна быть равноудалена от $A$ и $B$, т.е. $f(X) = M$. Но у $M$ пустой прообраз, получили противоречие.

Единственная проблема этого доказательства - не обоснован тот факт, что у этой точки $M$ действительно найдется пара равноотстоящих от нее точек $A$ и $B$ с непустыми прообразами. Пусть не на одной прямой, так на другой. А как это доказать, я не знаю.

Я пытался гуглом пользоваться, был уверен, что это стандартный факт, но ничего не нашел. Если есть какое-нибудь альтернативное доказательство сего факта - тоже интересно бы увидеть.

-- 07.06.2021, 20:11 --

EminentVictorians в сообщении #1521653 писал(а):

Эта точка $X$ равноудалена от $f^{-1}(A)$ и $f^{-1}(B)$, а значит $f(X)$ должна быть равноудалена от $A$ и $B$, т.е. $f(X) = M$.

Точнее не просто равноудалена (иначе она могла бы лежать где угодно на серединном перпендикуляре отрезка $AB$), а она именно в середину отрезка $AB$ отображается (т.к. $f$ сохраняет расстояния).

[svv]

Возьмём две различные точки $A,B$, у которых есть прообразы ($A',B'$ соответственно) и точку $C$, у которой прообраза нет. Найдём все такие точки $C'$, что $C'A'=CA,\;C'B'=CB$ (таких или две, или одна). Посмотрим, куда они переходят при отображении $f$.

[ewert]

Дело ведь не столько в том, что она плоскость, сколько в том, что она конечномерна (в бесконечномерном случае утверждение неверно). Вот конечномерность (конкретнее, двумерность) в явном виде и следует использовать.

[EminentVictorians]

Спасибо, все получилось.

[мат-ламер]

Наверное можно на задачу и с другой стороны посмотреть. Движение - это аффинное преобразование с ортогональной матрицей. А ортогональные матрицы невырождены.