Временная фокусировка

[profilescit]

В точке $A$ находится источников электронов которые были ускорены напряжением $U_0 = 36 V$ в горизонтальном направлении.
На пути электронов находятся два коротких интервала напряжения $B$ и $C$ (размеры считать пренебрежимо малыми), на расстоянии $a$ друг от друга.
Эти интервалы получают сигнал напряжения $U_{C}(t) = - U_{B}(t) = U(t)$ от генератора колебаний с регулируемым профилем.
Можем предполагать, что $ \left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$. Задачей является собрать (сфокусировать) электроны, стартующие в разные моменты времени, в один и тот же момент времени на детектор $D$, расположенный на расстоянии $b$ от интервала напряжения $C$. Для анализа данного устройства ответьте на следующие вопросы:

1) Предполагая, что $U(t) = 0$, найти время, необходимое электронам для передвижения от интервала напряжения $B$ до детектора $D$.

2) Найти это же время, предполагая, что напряжение $U(t) = U \ll U_0$ константно (полученное в результате упрощения выражение должно быть линейной функцией от $U$).

3) Какому функциональному уравнению должна удовлетворять временная зависимость напряжения $U(t)$, подаваемого на интервалы напряжений генератором колебаний, чтобы все электроны одновременно достигли детектора $D$? Решить это уравнение предполагая, что $a \ll b$ и $ \left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$



Первый пункт совсем тривиальный, $t_0 = \frac{a+b}{v_0}$ где $v_0 = \sqrt{\frac{2 e U_0}{m}}$

Со вторым уже возникают, почему-то, первые вопросы.


Разность потенциала между точками $B$ и $C$ будет $\Delta U = - 2 U$

Тогда на отрезке $BC$ электрон будет тормозится а на участке $CD$ пройдет с постоянной скоростью.

$t = t_{BC} + t_{CD}$
Найдем скорость в точке $C$ $v_c = \sqrt{v_0^2 - \frac{4 U e}{m}}$

Тогда $t_{BC} = \frac{2 a }{v_0 + v_c}$ а $t_{CD} = \frac{b}{v_c}$

$t = \frac{2 a}{v_0 \left(1 + \sqrt{1 - \frac{4 U e}{m v_0^2}} \right)} + \frac{b}{v_0 \sqrt{1 - \frac{4 U e}{m v_0^2}}} \approx \frac{2 a}{v_0 \left(2 - \frac{U}{U_0} \right)} + \frac{b}{v_0} \left(1 + \frac{U}{U_0} \right) \approx \frac{a+b}{v_0} + \frac{U}{U_0} \left(\frac{a}{2 v_0} + \frac{b}{v_0}\right)$

Ответ почти такой-же, однако отсутствует термен $\frac{U}{U_0} \frac{b}{v_0}$

Подскажите, была допущена где-то ошибка?

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1521651 писал(а):

Эти интервалы получают сигнал напряжения $U_{C}(t) = - U_{B}(t) = U(t)$ от генератора колебаний с регулируемым профилем.

А на рисунке не так. Согласно рисунку обе обкладки $C$ заземлены.

[profilescit]

EUgeneUS в сообщении #1521652 писал(а):

А на рисунке не так. Согласно рисунку обе обкладки $C$ заземлены.

На рисунке есть 3 пару обкладок, заземлены крайние. А между точками $B$ и $C$ действует разность потенциала $- 2 U$
Или нет?

[EUgeneUS]

profilescit
Хорошо. Картинка и условия состыковались.
Но тогда Вы не очень верно описываете профиль скорости электрона.
В точке $B$ скорость электрона скачком возрастёт (если $U>0$), потом будет постоянной, потом в точке $C$ скорость скачком упадёт до начальной.
Поправка ко времени пролета, зависящая от $U$ никак не может зависеть от $b$, так как отрезок $b$ электрон пролетает всегда с одинаковой скоростью - с начальной, вне зависимости от $U$.

-- 07.06.2021, 21:53 --

UPD: вышесказанное относится к случаю $U(t) = \operatorname{const}$
А если не константа, то всё становится сильно интереснее.

[profilescit]

EUgeneUS, видимо я понял где ошибку допустил. Надо было взять что в тех маленьких промежутках скорость скачком меняется. Сейчас попытаюсь снова, и вернусь с вопросами к последнему пункту задачи)

Кстати, в точке $B$ скорость должна скачком уменьшиться, разве нет? $U_B = - U$

[EUgeneUS]

UPD2, вот это просто неверно:

profilescit в сообщении #1521651 писал(а):

Разность потенциала между точками $B$ и $C$ будет $\Delta U = - 2 U$

1. $B$ и $C$ всё таки не точки, а маленькие интервалы, на которых потенциал меняется очень сильно, а значит разница потенциалом между ними просто не определена.
2. Можно говорить о разности потенциалов между парами обкладок:

а) между первой и второй: $U$
б) между второй и третьей: $-U$ (или, что тоже самое, между третьей и второй: $U$)
в) между первой и третьей: ноль

Но удвоенного напряжения не будет нигде (ни в какой паре точек).

-- 07.06.2021, 22:05 --

profilescit в сообщении #1521670 писал(а):

Кстати, в точке $B$ скорость должна скачком уменьшиться, разве нет?$

Если напряжение, приложенное ко второй паре обкладок положительное, то скорость возрастет. У электрона же отрицательный заряд.

profilescit в сообщении #1521670 писал(а):

$U_B = - U$

Вот этого я не понимаю. Есть первая пара обкладок, она заземлена. Есть вторая пара обкладок она под напряжением $U$. Откуда минус?

[profilescit]

EUgeneUS в сообщении #1521671 писал(а):

1. $B$ и $C$ всё таки не точки, а маленькие интервалы, на которых потенциал меняется очень сильно, а значит разница потенциалом между ними просто не определена.
2. Можно говорить о разности потенциалов между парами обкладок:

а) между первой и второй: $U$
б) между второй и третьей: $-U$ (или, что тоже самое, между третьей и второй: $U$)
в) между первой и третьей: ноль

Но удвоенного напряжения не будет нигде (ни в какой паре точек).

Да, спасибо, после предыдущего вашего сообщения как раз это и понял. (после слов что скорость скачком меняется)

-- 07.06.2021, 21:07 --

EUgeneUS в сообщении #1521671 писал(а):

Вот этого я не понимаю. Есть первая пара обкладок, она заземлена. Есть вторая пара обкладок она под напряжением $U$. Откуда минус?

По условию задачи $U_B$ определяется как напряжение в том маленьком-маленьком отрезке между первой и второй парой обкладок. И $U_C$ точно так-же между второй и третью парой обкладок.

И так-же по условию $U_B = - U = - U_C$

[EUgeneUS]

У $U_B$ - знак зависит от того в какую сторону двигаться. Если двигаться через промежутки в одну сторону, то конечно, $U_B = - U_C$
А далее какая-то странная трактовка.
1. Обычно, когда указывают какое-то напряжение в точке, например, $U(t)$, то подразумевают разницу потенциалов между этой точкой и "общим" проводом или заземлением.
2. Ко второй паре обкладок приложено напряжение $U(t)$, крайние пары обкладок заземлены. Значит $U(t)$ - это разница потенциалов между второй парой обкладок и любой крайней.
3. Если $U(t) > 0$, то это означает, что электрон влетает из области с низким потенциалом (с нулевым) потенциалом в область с высоким потенциалом, а потом опять в область с низким (с нулевым) потенциалом.

[profilescit]

Сейчас пришел к правильному ответу $t = \frac{a + b}{v_0} + \frac{U}{U_0} \frac{a}{2 v_0}$

Теперь приходит самая увлекательная часть задачи, когда нужно подобрать такую зависимость $U(t) $ чтобы все электроны одновременно достигли точки $D$ при $a \ll b$ и $\left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$

[EUgeneUS]

profilescit
То есть время пролета увеличилось. А значит электрон таки сначала тормозится, а потом разгоняется, при положительном $U(t)$. Не может так быть.

Ну да ладно.
Обратите внимание, что если $U(t)$ не константа, то скорость электрона совсем не обязана равняться начальной.

[sergey zhukov]

Тут речь о трех отрезках трубы, два крайних - под нулевым потенциалом, а средний - под положительным.

Чтобы решить задачу фокусировки, нужно, видимо, задаться испущенной шириной пакета электронов и подобрать профиль напряжения так, чтобы он имел нулевую ширину в точке $d$. Если взять потенциал средней трубы постоянным и достаточно большим, то можно любой пакет электронов целиком "сжать" внутрь участка $a$ до любой малой ширины, и пока он летит внутри $a$ - снять напряжение. Это будет не фокусировка, а сжатие пучка сильным торможением. Не совсем то, что нужно, ведь нам интересно сохранить энергию пучка.

Фокусировка связана больше не с временной задержкой электронов на участке $a$, а с немного разными скоростями электронов на выходе из $c$.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1521690 писал(а):

Обратите внимание, что если $U(t)$ не константа, то скорость электрона совсем не обязана равняться начальной.

Не дописал фразу до конца вчера
Имелась в виду скорость электрона на выходе из устройства.

[profilescit]

Пусть в момент времени $t$ электрон входит в первый зазор, тогда $v_1 = \sqrt{\frac{2}{m}(U_0 - U(t))}$ и время пролета первой второй обкладки $t_1 = \frac{a}{v_1}$

Уже после пролета второго зазора, скорость будет $\sqrt{\frac{2}{m}(U_0 - U(t) + U(t + t_1))}$ и время пролета расстояния до детектора будет $t_2 = \frac{b}{v_2}$


Общее время полета будет $ \tau = \frac{a}{v_1} + \frac{b}{v_2}$ и является в общем случае функцией от начального момента времени $t$. Но раз уж говорят что это время должно быть одинаково для всех электронов, нужно поставить условие $\frac{\partial \tau}{\partial t} = 0$?


И как-то решить это дела учтя что $a \ll b$ и $\left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$

[amon]

profilescit в сообщении #1521963 писал(а):

И как-то решить это

Прежде чем очертя голову бросаться что-то решать, есть смысл подумать, что мы хотим иметь в ответе. Пусть наши электроны одновременно, но с разными скоростями, стартуют из точки $A.$ Мы хотим, что бы в точку $D$ они прилетели одновременно, несмотря на различие начальных скоростей. Ваши предложения? (IMHO, нарисованная машинка, так как она нарисована, работать не будет, но, возможно, я ошибаюсь.)

-- 09.06.2021, 20:44 --

Не, вроде можно сделать так, что будет работать.

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1521978 писал(а):

Пусть наши электроны одновременно, но с разными скоростями, стартуют из точки $A.$

Я понял наоборот: электроны стартуют из точки $A$ (точнее, влетают в машинку) с одинаковой скоростью, которая определяется разгонным напряжением $U_0$, но стартуют в разное время.