Помогите, пожалуйста, доказать, что любая группа имеет порождающее множество, порядки элементов которого либо все конечные, либо все бесконечные. Была идея представить группу как объединение циклических подгрупп, и если все они конечны (бесконечны), то можно взять в качестве порождающего множества элементы, порождающие эти циклические подгруппы, а если найдётся как элемент
конечного порядка, так и элемент
бесконечного порядка, то думалось, что можно заменить все такие
на
. Это было бы, конечно, очень удобно, так как ясно, что такое множество будет действительно порождать всю группу, но в попытках доказать, что произведение элемента конечного порядка на элемент бесконечного порядка будет иметь бесконечный порядок (и тогда получилось бы порождающее множество, где все элементы бесконечного порядка), было обнаружено, что это, вообще говоря, не обязательно так, и теперь я в тупике.
