Поставили два на контрольной за эти решения, не вижу ошибки.

[Kevsh]

Вчера была контрольная по физике (тема – электромагнетизм). Когда сдавал, был уверен, что у меня будет 4/5. В итоге сегодня увидел в журнале 2, с чего просто в шоке. Ниже будут условия и мои решения 2-х задач, подскажите, пожалуйста, где я ошибся.

1.Плотность тока в длинном цилиндрическом проводнике меняется по закону $j_0\frac{r}{R}$, нужно найти энергию магнитного полня, локализованную в участке проводника, радиуса $R$ и высоты $h$.

Решение:
1)$I=\int_S \overline{j}dS=\int_0^Rj_0\frac{r}{R}\cdot 2\pi rdr=\frac{2j_0\pi}{R}\int_0^Rr^2dr=\frac{2}{3}j_0\pi R^2$
2)$\oint_l(\overline B,\overline l)=\mu_0\sum I_{scepl}$
$B\cdot 2\pi r=\mu_0I\cdot \frac{\pi r^2}{\pi R^2} \implies B= \frac{\mu_0 r}{2\pi R^2}\cdot \frac{2 j_0\pi R^2}{3} = \frac{\mu_0j_0}{3}r$
3)$\omega =\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{\mu^2_0j^2_0}{18\mu_0}r^2=\frac{\mu_0j^2_0}{18}r^2$
4)$W=\int_V\omega dV=\int_0^R\frac{\mu_0j^2_0}{18}r^2\cdot 2\pi rhdr=\frac{\mu_0 j^2_0 \pi h}{9}\int_0^R r^3dr=\frac{\mu_0j_0^2\pi h R^4}{36}$
Ответ: $W = \frac{\mu_0j_0^2\pi l R^4}{36}$

2.В проводе течёт ток $I$, как показано на рисунке.Радиус окружности равен $R$. Найти магнитную индукцию в точке $O$.

1)$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I[\overline{dl},\overline r]}{r^3}\implies dB_{34}=0$, так как там векторное произведение равно нулю.
2)$dB_{23}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I[\overline{dl},\overline r]}{r^3}, пусть $dl=d\varphi R$, причем $r$ тут не меняется, так что можно получить равенство $dB_{23}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{Id\varphi R \cdot R\cdot \sin{\frac{\pi}{2}}}{R^3}= \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{Id\varphi}{R}, следовательно $B_{23}=\int_ldB_{23}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{Id\varphi}{R}=\frac{\mu_0 I}{8 R}
3)$dB_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I[\overline{dl},\overline r]}{r^3}=$, пустим ось $x$ влево, тогда $dl = dx$, $r=\sqrt{x^2 + R^2}$, $\sin{\beta}=\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}$, где $\beta$ – угол между $dx$ и $r$, тогда получаем $B_{12}=\int_0^{\infty}\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{IRdx}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\mu_0IR}{4\pi} \lim\limits_{b\rightarrow \infty}\int_0^b\frac{dx}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{\mu_0IR}{4\pi}\cdot \frac{1}{R^2}=\frac{\mu_0I}{4\pi R}$.
Ответ: $B=\frac{\mu_0I}{4\pi R} + \frac{\mu_0 I}{8 R}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

-- 05.06.2021, 16:17 --

Kevsh, такие темы надо размещать в ПРР(Ф). Предупреждение за систематический оффтопик, поскольку и переносы, и замечания уже были.

[EUgeneUS]

Kevsh
По второй задаче.

во-первых, Вы очень лихо приравниваете скалярные и векторные величины. Конечно, при большом желании можно понять, что Вы хотите сказать. Но это крайне неаккуратно.
во-вторых. В третьем пункте:
а) Вы направили ось $Ox$ в лево и тут же потеряли минус, так как $\vec{dl}$ стало направлено против тока.
б) Далее (после второго знака "равно") Вы написали какой-то бред, где даже разъехалась размерность (конечно, опять же при большом желании можно понять, что Вы хотели сказать), после чего волшебным образом получился верный ответ.

Если включить телепатию, то вероятно проверяющий посчитал, что Вы списали задачу, слабо понимая решение, и не зачёл её полностью.

[Kevsh]

EUgeneUS
1)Да, ось направлена против течения тока, но и интегрирую я против течения тока, так что, по идее, по итогу со знаком должно быть всё нормально. Тут нужно было написать $dl = -dx$, тут я ошибся, потому что в классе такого не писал, сразу это вставил в интеграл и минусы сократились, забыл просто.
2)Что вам конкретно там показалось бредом? Тут $R$ – радиус окружности, я его провёл в точку 2. Отсюда и получается синус угла между $dx$ и $r$, ну а $r$ я нашёл по теореме пифагора. Вот и получилось, что я проинтегрировал всё это дело от точки 2 до бесконечности, а это несобственный интеграл, так что я записал всё это в виде предела.

[amon]

Как Вы отсюда

Kevsh в сообщении #1521302 писал(а):

$\oint_l(\overline B,\overline l)=\mu_0\sum I_{scepl}$

перешли сюда

Kevsh в сообщении #1521302 писал(а):

$B\cdot 2\pi r=\mu_0I\cdot \frac{\pi r^2}{\pi R^2}?$

[EUgeneUS]

по первой задаче.

Судя, по Вашим обозначениям в первом пункте Вы зачем-то посчитали полный ток через весь проводник.
А должны были посчитать $I(r)$ - ток через круговое соосное сечение радиуса $r$.
(понятно, что тут проблема с обозначениями, а не с логикой решения).
Других ошибок не нашёл.

Опять же, путаницу в обозначениях могли посчитать симптомом, что решение списано. Других вариантов не вижу.

[realeugene]

$B\cdot 2\pi r=\mu_0I\cdot \frac{\pi r^2}{\pi R^2}$

Тут ошибка. Формула записана без понимания её смысла с учётом того, что такое у вас $I$, посчитанное в п. 1.1. Применённая в этом пункте формула выведена для полного тока в проводе с равномерной плотностью тока, что грубо противоречит условию задачи.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1521307 писал(а):

Что вам конкретно там показалось бредом?

Бред не после первого знака равно, а после второго.
Во-первых, после предела должен быть не интеграл, а прямая черта.
Во-вторых, сравните размерность перед вторым знаком равно ($[\mu_0] [I] [R]^2/ [R]^3$) и после него ($[\mu_0] [I] [R] [R] / [R]$), а потом опять размерность волшебным образом "починилась".

[Kevsh]

EUgeneUS
По первой задаче.
Я посчитал ток через весь проводник, чтобы потом посчитать охваченный ток в следующем пункте, я так понял, что делать нужно было иначе. Если плотность зависит от координаты, то и ток тоже зависит от координаты, то есть во втором пункте ошибка. Правильно ли я понимаю, что $I(r)$ тут будет $I(r)=\frac{2\pi r^2 j_0}{R}$, при этом это и будет нашим сцепленным током?
По второй задаче.
Специально посмотрел наши лекции по матанализу – можно и знак интеграла после предела поставить, вот пример:
http://surl.li/vwyz
На этапе, где у меня предел, интеграл ещё не взят, после знака равно я уже и интеграл взял, и предел взял, наверно из-за этого размерность "не сходится", потому что я вообще не очень понимаю, что вы написали про размерность.

-- 05.06.2021, 17:20 --

EUgeneUS
И ещё, если можно, вопрос. В первой задаче разве есть разница, течёт ток равномерно или изменяется в разных координатах проводника? Если я посчитал ток в сумме, то я найду ту же энергию магнитного поля, верно? Мне кажется, что можно было написать что-то типо: "будем считать, что ток течёт равномерно, суммарная энергия магнитного поля в проводнике от этого никак не изменится" и всё.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1521313 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $I(r)$ тут будет $I(r)=\frac{2\pi r^2 j_0}{R}$, при этом это и будет нашим сцепленным током?

Нет. Вам нужно делать, как Вы начали делать в первом пункте, только интегрировать не до $R$, а до какого-то радиуса (вообще говоря, который меньше $R$), его удобно обозначить буквой $r$. А так как предел интегрирования и переменную интегрирования обозначать одной буквой не кошерно, то лучше записать так:

$I(r) = \frac{2 \pi j_0}{R} \int\limits_{0}^{r} \rho^2 d \rho$
Ну и далее всё пересчитать (ответ будет другим).

-- 05.06.2021, 17:29 --

Kevsh в сообщении #1521313 писал(а):

где у меня предел, интеграл ещё не взят,

Если у Вас ещё интеграл не взят, то числитель должен быть в степени $3/2$, а не под квадратным корнем (степень $1/2$). Тогда и размерность сойдется.

-- 05.06.2021, 17:32 --

Kevsh в сообщении #1521313 писал(а):

В первой задаче разве есть разница, течёт ток равномерно или изменяется в разных координатах проводника?

При ответе на вопрос задачи (а там спрашивают про энергию поля в толще проводника) - есть разница и большая.
Пусть весь ток течёт в бесконечно тонком цилиндре по оси проводника. Тогда энергия поля будет бесконечно большой.

[Kevsh]

EUgeneUS
Извините, не заметил корень, да, там, конечно, степень 3/2, но в классе я точно правильно написал, то есть во второй задаче нет больше никаких проблем?
И еще по первой задаче. Вы написали, как посчитать $I(r)$, это же уже будет ток, сцепленный контуром с радиусом $r$, я правильно понимаю?

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1521313 писал(а):

Мне кажется, что можно было написать что-то типо: "будем считать, что ток течёт равномерно, суммарная энергия магнитного поля в проводнике от этого никак не изменится" и всё.

Нет, нельзя. Ответ изменится.
Ваш финт во втором пункте я пропустил при "первом проходе", но старшие товарищи заметили. Ответ у Вас неверный в первой задаче.

-- 05.06.2021, 17:41 --

Kevsh в сообщении #1521316 писал(а):

Извините, не заметил корень, да, там, конечно, степень 3/2, но в классе я точно правильно написал, то есть во второй задаче нет больше никаких проблем?

Ещё приравнивание векторных и скалярных величин.
Ответ во второй задаче верный. Он, кстати, получается очень просто, если знать магнитную индукцию в центре кругового проводника и бесконечного прямолинейного проводника.

-- 05.06.2021, 17:43 --

Kevsh в сообщении #1521316 писал(а):

Вы написали, как посчитать $I(r)$, это же уже будет ток, сцепленный контуром с радиусом $r$, я правильно понимаю?

Да, в том смысле, что именно этот ток создаёт магнитное поле в точке, расположенной на расстоянии $r$ от оси проводника.

[Kevsh]

EUgeneUS
Большое спасибо, надеюсь, что в следующий раз всё нормально перепишу.

[sergey zhukov]

Kevsh в сообщении #1521313 писал(а):

В первой задаче разве есть разница, течёт ток равномерно или изменяется в разных координатах проводника?

По первой задаче: да, разница есть. Например, если взять два провода разного сечения с одинаковым током и равномерной по сечению плотностью тока, то полная энергия магнитного поля у тонкого проводника будет выше. И она вообще стремится к бесконечности при стремлении диаметра проводника к нулю. Это выражается, например, в том, что индуктивность провода (прямо связанная с энергией магнитного поля) у тонкого провода выше, чем толстого.

Если мы хотим уменьшить индуктивность провода (и энергию его магнитного поля), не изменяя его суммарного сечения, то мы можем набрать этот провод из тонких жил и разнести их подальше друг от друга, увеличив таким образом эффективный диаметр провода. Например, при передаче электроэнергии желательно, чтобы провода ЛЭП имели низкую индуктивность, т.е. низкое индуктивное сопротивление. Мы можем расщепить каждую фазу ЛЭП на несколько более тонких проводов. Это одна из причин, по которым используют т.н. расщепление фаз.